Nacido en Núremberg, Alemania, la llamativa voz de Fleischmann le facilitó trabajar en la radio tras la Segunda Guerra Mundial, medio en el cual trabajó como locutor y actor de radioteatro.
Fleischmann completó su formación como actor en el Seminario Max Reinhardt de Viena, actuando después en el Kammerspiele Bremen.
Tuvo otras actuaciones teatrales en Baden-Baden, Hamburgo, Berlín, Fráncfort del Meno, Stuttgart, Zúrich y Múnich.
Su debut cinematográfico llegó en 1961 con Barbara - Wild wie das Meer.
A partir de 1962 inició su carrera como actor televisivo.