Hackenbush

Cada segmento de línea que ya no está conectado al suelo por ningún camino "cae" (es decir, se borra).

En particular, Hackenbush azul-rojo se puede utilizar para construir números surreales como nimbers: los tableros finitos Blue-Red Hackenbush pueden construir números racionales diádicos, mientras que los valores de infinitos tableros Blue-Red Hackenbush representan números reales, ordinales y muchos valores más generales que no son ninguno.

Hackenbush azul-rojo-verde permite la construcción de juegos adicionales cuyos valores no son números reales, como estrella y todos los demás nimbers.

Se puede realizar un análisis más detallado del juego utilizando la teoría de grafos considerando el tablero como una colección de vértices y aristas y examinando los caminos a cada vértice que se encuentra en el suelo (que debe considerarse como un vértice distinguido; no hace daño identificar todos los puntos del suelo juntos, en lugar de como una línea en el gráfico).

En la versión imparcial de Hackenbush (la que no tiene colores especificados por el jugador), se puede pensar en usar montones nim dividiendo el juego en varios casos: vertical, convergente y divergente.

Los segmentos divergentes, o árboles, agregan una arruga adicional al juego y requieren el uso del principio de dos puntos, indicando que cuando las ramas se juntan en un vértice, se pueden reemplazar las ramas por un tallo no ramificado de longitud igual a su nim suma.

De esta forma siempre se tendrá una respuesta a cada movimiento que realice.