Complejo de cadenas

En álgebra abstracta un conjunto

consistente en estructuras algebraicas

(ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y

morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas si la construcción satisface

Esta última condición implica

{\displaystyle \operatorname {im} \delta _{n+1}\subseteq \ker \delta _{n}\,}

para toda

Este concepto es clave para entender lo que es la homología.

se utiliza para designar al par

A las estructuras cociente se les llama grupos de homología del complejo de cadenas

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos

de morfismos entre las estructuras algebraicas

tales que

indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos

q − d

con la misma propiedad

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos.

Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico

{\displaystyle (X,A)}

una familia de grupos abelianos

{\displaystyle \{H_{n}(X,A)\}}

que formarán una complejo de cadenas

{\displaystyle \cdots \to H_{i}(A)\to H_{i}(X)\to H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)\to \cdots }

y donde un mapeo continuo

entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos

{\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(A)\to H_{i}(B)}

{\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X,A)\to H_{i}(Y,B)}

con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.