En 1800 entró en la École Polytechnique, donde fue alumno de Joseph-Louis Lagrange.
Jean Baptiste Fourier, impresionado con sus habilidades, logró en 1803 que Plana fuese nombrado para una cátedra de matemáticas en una escuela de artillería del Piamonte, que quedó bajo dominio francés en 1805.
Pasó el resto de su vida enseñando en dicha institución.
Sus contribuciones a la ciencia incluyen trabajos sobre el movimiento de la Luna así como sobre integrales, funciones elípticas, calor, electrostática y geodesia.
En 1834 ganó la Medalla Copley, el mayor premio de la Royal Society.