Función Omega de Wright

En matemáticas, la función Omega de Wright, también llamada función de Wright, es una función que está definida por la función W de Lambert:

es la parte imagniaria de z,

es la función techo de z y

es un "número desenrollado" de z. Anteriormente

,[1]​ pero posteriormente se cambió a la versión actual porque evita tener que usar de manera reiterada el signo menos (-) en las fórmulas relacionadas.

[2]​ La función Omega de Wright satisface la ecuación diferencial:

, es que la relación inversa

es función inversa para todos los valores de u menos en 0 y -1.

Por lo tanto la función inversa se define como:

No obstante, al igual que con otras funciones multivaluadas, se puede adoptar un convenio para denotar un valor principal.

solo tomaría un valor -aun no decidido-.

z ≠ q ± i π ,

z = q + i π ,

z = q − i π ,

Cabe destacar que de los dos valores z que satisfacen

, lo cual motiva a que

-como valor principal- represente a

Por otra parte, las dos soluciones complejas -no reales- (conjugadas entre sí) de la ecuación x = ln(x) se pueden representar mediante esta función: A continuación se mostrará un ejemplo de cómo resolver ecuaciones usando esta función.

Ahora como 2 es un número positivo y tanto x como ln(x) son inyectivas, la (única) solución buscada es un número real.

Sabiendo esto, se puede deducir que k = 0 puesto que

Así solo k = 0 cumple lo pedido.

Finalmente la solución es: En los números reales se puede observar mediante la definición, que Im(z) = 0.

Así la función se define como:

Con esto la función está definida para todo

Esta función es biyectiva en

La cual se deduce por la definición de la función inversa.

Así que de manera análoga se tiene que al resolver

, ocupando lo anterior se tiene (modificando el dominio y recorrido, que es igual al codominio en este caso): (1)

x = ln ⁡ ( y

Finalmente reemplazando x en y, se tiene que