La fracción continua de Rogers–Ramanujan es una fracción continua descubierta por Rogers (1894) y más tarde estudiada por Srinivasa Ramanujan, íntimamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan, que puede ser evaluada explícitamente para determinados valores de su argumento.
La fracción continua de Ramanujan es
q
q
q
( q )
( q )
= 1 + q −
q
q
{\displaystyle 1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}={\frac {G(q)}{H(q)}}=1+q-q^{3}+q^{5}-\cdots }
(sucesión A003823 en OEIS) donde: y son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan.
Aquí,
( a ; q
{\displaystyle (a;q)_{\infty }}
denota el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.
Si q = e2πiτ, entonces q−1/60G(q) y q11/60H(q) y también q1/5H(q)/G(q)) son formas modulares de τ.
Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente.
En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores de τ. donde
φ
es el número áureo (Aproximadamente 1.618) El inverso multiplicativo de esta expresión es:
φ
− φ
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\dots }}}}}}={\frac {1}{2}}\left[1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right]\,e^{-2\pi /5}\\\\&={\frac {e^{-2\pi /5}}{{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi }}=1.0018674\dots \end{aligned}}}
( φ − 1
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}}}\\\\&=\left({\frac {\sqrt {5}}{1+[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1]^{1/5}}}-{\varphi }\right)\,e^{2\pi /{\sqrt {5}}}=0.99999920\dots \end{aligned}}}
El inverso multiplicativo de esta expresión es:
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad 1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\dots }}}}\\\\&={\cfrac {e^{-2\pi /{\sqrt {5}}}}{{}\ \ {\cfrac {\sqrt {5}}{1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}}-\varphi \ \ {}}}=1.000000791267\dots \end{aligned}}}