Fue hijo del director de orquesta Ataúlfo Argenta.

En su juventud fue miembro del grupo de rock Micky y Los Tonys, el cual abandonó en 1965.

En 1971 comenzó a trabajar en Radio Nacional de España, emisora en la que dirigió y presentó el programa Clásicos populares, que trataba de acercar la música clásica al gran público de una forma amena y desenfadada, y que se mantuvo en antena con notable éxito y prestigio hasta el 31 de julio de 2008.

Fernando Argenta ha sido también un gran defensor del medio ambiente, y desde sus programas siempre encontraba un espacio para mostrar su amor a la naturaleza.

En 2016, la familia de Argenta y Ernesto Monsalve impulsaron el "Ciclo Fernando Argenta de Clásicos Populares", que se desarrolló en Valladolid con cuatro conciertos que fueron presentados por el periodista de RTVE Roberto Santamaría, recordando y emulando la figura de Fernando.