Realizó sus estudios primarios en Cuatrociénegas y después en el Ateneo Fuente de Saltillo, donde cursó la preparatoria.
En 1911 Venustiano Carranza, entonces gobernador de Coahuila, nombró a Arredondo secretario general de gobierno del estado, y ese mismo año fue nombrado diputado por Coahuila a la XXVI Legislatura federal, y en 1913 ocupó un curul en el Congreso Local.
A raíz del golpe de Estado que encabezó Victoriano Huerta, y estando presos el presidente Madero y el vicepresidente Pino Suárez, Carranza envió a Arredondo a negociar con el general José María Mier el retiro de las fuerzas federales de Piedras Negras.
Poco después, al ser designado Venustiano Carranza jefe máximo de la Revolución, fue comisionado para invitar en su nombre al general Jerónimo Treviño a sustituirlo en el cargo; también conferenció con el general José María Mier proponiéndole que se adhiriera a la revolución constitucionalista.
Eliseo Arredondo fue primo hermano, por vía materna, del presidente Venustiano Carranza.