Ecuación de sine-Gordon
Entre las ecuaciones integrables más conocidas, la ecuación de sine-Gordon es el único sistema relativista debido a su invariancia de Lorentz.
, la ecuación tiene la forma:[4] donde los subíndices denotan derivadas parciales.
Existe un sistema de coordenadas para el que las líneas definidas por u = constante, v = constante viene dada por las curvas asintóticas parametrizadas con respecto a la longitud de arco.
representa el ángulo entre las rectas asintóticas, para la segunda forma fundamental
Este análisis muestra que cualquier superficie pseudoesférica da origen a una solución de la ecuación de sine-Gordon, aunque con algunas consideraciones.
Existe un teorema, a veces llamado teorema fundamental de las superficies, que afirma que si dos formas bilineales con valores matriciales satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi, entonces son la primera y segunda forma fundamental de una superficie inmersa en el espacio tridimensional.
[6] Existen formas más directas de para construir nuevas soluciones, pero no dan lugar a nuevas superficies.
se llama pliegue, y representa un giro en la variable
[7] Aquí se interpreta un giro en el sentido de las agujas del reloj de la goma elástica como un pliegue con carga topológica
El giro alternativo en el sentido contrario a las agujas del reloj con carga topológica
Los pliegues y antipliegues pasan a través de ellos como si fueran perfectamente permeables, y el único efecto observado es un desfase.
relacionado con la posición inicial del solitón.
coincidiendo con el hamiltoniano correspondiente al lagrangiano de sine-Gordon.
La carga topológica se conserva si la energía es finita.
La ecuación de curvatura cero recibe ese nombre porque corresponde a la curvatura igual a cero si se define
Esta ecuación no presenta solitones, aunque tiene propiedades muy similares, y está relacionada con la ecuación de sine-Gordon a través la continuación analítica (o rotación de Wick) y = it.
[15] Es posible encontrar condiciones de frontera que preservan la integrabilidad del modelo.
[15] Sobre la semirrecta, el espectro contiene estados ligados además de los solitones y los breathers.
La producción de múltiples partículas se cancela on shell.
La cuantización semiclásica del modelo fue realizada por Liúdvig Faddéyev y Vladímir Korepin.
[19] La matrix S exacta fue descubierta por Aleksandr Zamolódchikov.
[21] Esto se conoce en ocasiones como la correspondencia de Coleman y sirve como ejemplo de correspondencia bosón-fermión en el caso con interacción.
Las constantes que aparecen en el modelo se comportan bien bajo renormalización:
Además, para un valor crítico no nulo
La ecuación de sine-Gordon cuántica debe modificarse para que las exponenciales se conviertan en operadores vértice donde
[22] La identificación de estos regímenes se atribuyen a Jürg Fröhlich.
, donde no se necesitan contratérminos para que la teoría esté bien definida.
, donde se necesita un número finito de contratérminos para que esté bien definida.
, son respectivamente el punto de fermión libre, ya que la teoría es dual a un fermión libre a través de la correspondencia de Coleman, y el punto autodual, donde los operadores vértice forman una subálgebra afín de sl2 y la teoría es estrictamente renormalizable (pero no superrenormalizable).
[25] Se pueden encontrar también condiciones de frontera que preservan la integrabilidad en esta extensión.
