Ecuación de Rayleigh-Plesset
[1][2][3][4] Se suele escribir en su forma general como: Siendo
conocidas, la ecuación de Rayleigh–Plesset puede ser usada para obtener el radio de la burbuja en función del tiempo
[4] Fue obtenida por primera vez por John Strutt, tercer barón Rayleigh en 1917, sin efectos de viscosidad ni tensión superficial.
Fue usada por primera vez al estudio de burbujas viajeras en fenómenos de cavitación por Milton S. Plesset en 1949.
[3] Considerando simetría esférica en una burbuja de radio
variable en el tiempo, se puede asumir que contiene vapor homogéneamente distribuido con una temperatura uniforme.
En el exterior de la burbuja existe un dominio líquido de tamaño infinito con densidad constante
, siendo la temperatura y presión lo bastante alejados de la burbuja como para que esta no afecte al líquido
Sin embargo, en las proximidades de la burbuja el fluido se ve afectado por esta, por lo que se puede definir parámetros en función de la distancia radial al centro de la burbuja.
Es importante recordar que estos parámetros solo están definidos en el exterior de la burbuja,
Aplicando la conservación de la masa, se obtiene una ley de la inversa del cuadrado para la velocidad
que debe ser inversamente proporcional a la distancia del centro de la burbuja.
[5] Así, se deduce que
representando el volumen de la burbuja.
es la velocidad relativa del líquido con la burbuja en
, la masa entrante a esta viene dada por: con
Aplicando la conservación de la masa,
Luego: Así: En muchos casos la densidad del líquido en mucho mayor que la del vapor,
puede ser aproximado por el primer resultado para transferencia de masa nula
, por lo que[5] Si se asume un fluido newtoniano, las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas esféricas para el movimiento en dirección radial son: Sustituyendo por la viscosidad cinemática
y reordenando los términos se obtiene: Donde al sustituir
por el resultado obtenido del apartado anterior: Se debe notar que los términos viscosos se cancelan durante la sustitución:.
[5] Separando variables e integrando desde la frontera de la burbuja
a la tensión normal en el líquido dirigida desde el centro hacia el exterior de la burbuja, tenemos para un fluido con densidad y viscosidad constantes: Luego en una fracción infinitesimal de la superficie de la burbuja hay una fuerza resultante neta de: donde
[5] Si no hay transferencia de masa en la frontera, la fuerza por unidad de área debe ser cero, luego:
y así resulta: donde si se reordenan los términos y se define
se obtiene la ecuación de Rayleigh–Plesset[5] Usando la notación de Newton de indicar con un punto una derivada temporal, se puede representar más sucintamente como: No se conocen soluciones cerradas para la ecuación de Rayleigh–Plesset.
Sin embargo, se pueden obtener fácilmente soluciones numéricas con la precisión que se desee.
Mención expresa merece el caso de tensión superficial y viscosidad negligibles, para el que hay aproximaciones analíticas de orden elevado.
[6] Para el caso estático, en cambio, la ecuación se simplifica a la conocida como ecuación de Laplace-Young: Cuando sólo hay variaciones infinitesimales en el radio y presión, la ecuación da comoresultado la frecuencia natural de la burbuja, un valor de interés en los flujos con cavitación.
