El modelo pseudopotencial hamiltoniano del sistema es dado como donde
es la longitud de dispersión bosón-bosón, y
Es similar en forma a la ecuación de Ginzburg y a veces se conoce como la ecuación de Schrödinger no lineal.
Un condensado de Bose-Einstein (CBE) es un gas de bosones que están en el mismo estado cuántico y por lo tanto puede ser descrito por la misma onda.
Una partícula libre cuántica es descrita por una sola ecuación de Schrödinger.
Si el espacio promedio entre las partículas de un gas es mayor que la longitud de dispersión (es decir, en el llamado límite de dilución), entonces uno puede aproximarse a la verdadera interacción potencial que presenta en esta ecuación por un pseudopotencial.
El acoplamiento constante g, es proporcional a la longitud de dispersión
de dos bosones que interactúan entre sí: donde
es la función de onda, o parámetro de orden, y v es un potencial externo.
Es la ecuación independiente del tiempo Gross–Pitáyevski, para un número conservado de partículas donde
Se utiliza para encontrar los modos colectivos de un gas confinado.
Puesto que la ecuación de Gross–Pitáyevski es una ecuación diferencial parcial, es difícil encontrar soluciones exactas.
Como resultado, las soluciones tienen que aproximarse a través de innumerables técnicas.
La solución exacta más sencilla, es la de partícula libre, con
Un solitón unidimensional puede formarse en un condensado de Bose-Einstein, y dependiendo de si la interacción es atractiva o repulsiva, el solitón es brillante u oscuro.
Ambos solitones son disturbios locales en un condensado con una densidad de fondo uniforme.
Esta solución representa al solitón oscuro, ya que existe un déficit de condensado en un espacio de densidad distinto de cero.
El solitón oscuro también es un tipo de defecto topológico, desde
ronda entre valores positivos y negativos en el origen, correspondiente a un
En sistemas donde una solución analítica exacta puede no ser factible, se puede hacer una aproximación variacional.
La idea básica es hacer un Ansatz variacional para la función de onda con parámetros libres, conectarlo a la energía libre y minimizar la energía con respecto a los parámetros libres.
Esta formulación se inserta en la ecuación de Gross–Pitáyevski dependiente del tiempo y su conjugado, y se linealiza a primer orden en
se encuentra el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales para
son ondas planas de impulso
, lo que conduce al espectro de energía Para grandes
como se esperaría de excitaciones no habituales por la interacción de partículas individuales.
pequeñas, la relación de dispersión es lineal con
muestra, según criterio de Landau, que el condensado es un superfluido, lo que significa que si un objeto se mueve en el condensado a una velocidad inferior a s, no será energéticamente favorable para producir excitaciones, y el objeto se moverá sin disipación, que es característica de un superfluido.
Se han realizado experimentos para probar esta superfluidez del condensado, usando un láser azul desintonizado bien enfocado.
[4] La misma relación de dispersión se encuentra cuando el condensado se describe desde un enfoque microscópico utilizando el formalismo de la Segunda cuantización.