Serie de los inversos de los números primos

En el siglo III a. C. Euclides demostró la existencia de infinitos números primos.Para empezar, describiremos algunos de los pasos previos usados por Euler en su demostración.De ahora en adelante, sin que se diga lo contrario, la suma o producto sobre el conjunto de todos los números primos se representa como p bajo el sumatorio o productorio.Una demostración elemental por reducción a lo absurdo fue descubierta por Paul Erdős y es la siguiente: Asuma que la suma de los recíprocos de todos los números primos converge: Defina pi como el i -ésimo número primo.Si tomamos la desigualdad: y considerando la cota máxima que es cuando Ni(x) = 2i√x:He aquí otra demostración que da una menor estimación sobre la suma parcial, en particular, muestra como la suma crece al menos tan rápido como log (log(n)).