Bradley es un miembro veterano de la Royal Shakespeare Company (RSC), así como del Teatro Nacional.
En 1991, recibió el Premio Laurence Olivier por su interpretación de El bufón o El loco en El Rey Lear en el Teatro Nacional.
En 1993, recibió el Clarence Derwent Award por el papel de Polonius en Hamlet y Shallow en Henry IV, Part 2 en la RSC.
En 2012 participó en el episodio Dinosaurios en una nave espacial de Doctor Who y al año siguiente, interpretó al actor William Hartnell en el docudrama An Adventure in Space and Time, que narra la creación de Doctor Who.
También protagonizó la serie de Guillermo del Toro The Strain como el profesor Abraham Setrakian.