Curva de Lorenz

La curva de Lorenz es una representación gráfica utilizada frecuentemente para plasmar la distribución relativa de una variable en un dominio determinado.El dominio puede ser el conjunto de hogares o personas de una región o país, por ejemplo.La variable cuya distribución se estudia puede ser el ingreso de los hogares o las personas.Utilizando como ejemplo estas variables, la curva se trazaría considerando en el eje horizontal el porcentaje acumulado de personas u hogares del dominio en cuestión y en el eje vertical el porcentaje acumulado del ingreso.Su autoría es de Max Otto Lorenz, que desarrolló por primera vez la idea en 1905 en un ensayo de pregrado.[2]​ Cada punto de la curva se lee como porcentaje acumulativo de los hogares o las personas.La curva parte del origen (0,0) y termina en el punto (100,100).Si el ingreso estuviera distribuido de manera perfectamente equitativa, la curva coincidiría con la línea de 45 grados que pasa por el origen (por ejemplo el 30% de los hogares o de la población percibe el 30% del ingreso).Si existiera desigualdad perfecta, o sea, si un hogar o persona poseyera todo el ingreso, la curva coincidiría con el eje horizontal hasta el punto (100,0) donde saltaría el punto (100,100).En general la curva se encuentra en una situación intermedia entre estos dos extremos.Si una curva de Lorenz se encuentra siempre por encima de otra (por lo tanto, está más cerca de la línea de 45 grados que la otra), entonces podemos decir, sin ambigüedad, que la primera exhibe menor desigualdad que la segunda.La CLG sólo se diferencia de la de Lorenz en que en la escala vertical no se representan las cantidades relativas acumuladas sino las cantidades acumuladas (no relativas) divididas por el número N de elementos de la población.La lógica pretendida es representar qué cantidad absoluta corresponde a cada porcentaje de individuos.Se puede comprender que es muy diferente la situación de bienestar de este 50% de la población según si la riqueza total es muy pequeña o muy grande.Es obvio que es peor poseer el 50% de una cantidad pequeña que poseer el 25% de una cantidad mucho mayor.El dividir las cantidades acumuladas por el total de elementos N es necesario para poder comparar riquezas entre poblaciones distintas que tengan un número diferente de elementos: no es lo mismo una riqueza total de 1.000.000€ en un conjunto de 10 personas que esa misma riqueza total en un conjunto formado por 1.000 personas.La proporción de personas o unidades familiares con una renta inferior a un nivel de renta r viene dada por: (1)Mientras que la proporción de renta acumulada por las personas con rentas iguales o inferiores a r viene dada por: (2)Las ecuaciones (1) y (2) constituyen juntas las ecuaciones paramétricas de la curva en función del parámetro r. La curva de Lorenz tiene pendiente positiva en todos sus puntos como se deduce de la siguiente relación: (3)la pendiente será nula (aun en el casoel límite anterior sigue siendo válido, pero en el resto de puntos será estrictamente positiva.Además la curva de Lorenz es convexa ya que su derivada segunda siempre es positiva: (4)Aunque ésta no parece una distribución adecuada para la renta nacional de ningún país, la sencillez de las expresiones obtenidas permite entender de modo sencillo la aplicación de las ecuaciones (1) a (4).de la primera ecuación y substituyendo el resultado en la segunda se obtiene la curva de Lorenz explícitamente:El índice de Gini se puede calcular simplemente como:Cuando para calcular este valor en lugar de una distribución continua se usa un cálculo aproximado por decilas en cambio resulta sóloUna aproximación más verosimil para la renta nacional es usar en lugar de una simple distribución exponencial, una distribución gamma:está relacionado con la renta media medianteDonde: En este caso no es posible despejar explícitamenteAunque puede calcularse el índice de Gini mediante la expresión (para