Más adelante, en el artículo se utilizan para distinguir los operadores en Mecánica Cuántica de sus análogos clásicos.
En este caso, se puede colocar el término masivo para encontrar una lagrangiana aproximada y ecuaciones de movimiento de primer orden Observe, que esta lagrangiana aproximada es lineal en las velocidades, que es una de las condiciones bajo las cuales se rompe el procedimiento estándar hamiltoniano.
A veces, se podría intentar solucionar el problema al expresar las coordenadas como momentos y a veces como coordenadas; sin embargo, esta no es una solución general y rigurosa.
Esta última observación obtiene el meollo del asunto: que la definición de los momentos canónicos implica una constricción sobre el espacio fase (entre momentos y coordenadas) nunca tomada en cuenta anteriormente.
---, si ellas son idénticas hasta que se cumplan las ecuaciones de movimiento, lo también denotado como on shell.
El nuevo procedimiento funciona como sigue, al iniciar con una lagrangiana y definir los momentos canónicos de la forma habitual.
Algunas de esas definiciones pueden ser no invertibles y dar en su lugar a constricciones en el espacio fase (como arriba).
Tenga en cuenta que la hamiltoniana siempre puede escribirse como una función de
's, aunque las velocidades no puedan ser invertidas en función de los momentos.
, es la función más general de coordenadas y momentos, igualmente débiles a la hamiltoniana principal
, considere cómo se obtienen las ecuaciones de movimiento desde la hamiltoniana principal, en el procedimiento estándar.
En el contexto actual, simplemente no se pueden establecer los coeficientes de
igualando a cero por separado, ya que las variaciones son algo restringidas por las constricciones.
En particular, las variaciones deben ser tangentes a la superficie de constricción.
Una constriccicción derivada de esta forma se llama constricción secundaria.
Este proceso se repite hasta que no haya más constricciones.
La distinción entre las constricciones primarias y secundarias es en gran medida artificial (es decir, una constricción para el mismo sistema puede ser primaria o secundaria dependiendo de la lagrangiana), por lo que este artículo no distingue entre ellos desde aquí.
Asumiendo la condición de consistencia se itera hasta que todas las constricciones han sido encontradas, entonces
corresponde a una transformación de calibración y debe dejar sin cambios el estado físico del sistema.
Para cantidades de calibración invariantes (cantidades medibles físicamente) todas las hamiltonianas deben dar la misma evolución temporal ya que toda calibración es débilmente equivalente.
Es sólo para cantidades no invariantes ante calibración, que la distinción se convierte en importante.
Si uno quiere cuantificar canónicamente un sistema general, uno necesita los corchetes de Dirac.
son cantidades que sólo desaparecen débilmente, y por lo tanto, cualquier cosa que se desvanezca de manera semejante, debe ser igual fuertemente a una combinación lineal de las constricciones.
[2] Cuando se agregan las constricciones de primera clase secundarias en la hamiltoniana, con arbitraria
En este punto, las constricciones de segunda clase serán etiquetadas como
Volviendo al ejemplo anterior, la hamiltoniana principal y las dos principales constricciones son Por lo tanto, la hamiltoniana extendida se puede escribir El siguiente paso es aplicar las condiciones de consistencia que en este caso son
Estas no son las constricciones secundarias, sino las condiciones que fijan
Esto significa que se puede utilizar a la hamiltoniana principal con corchete de Dirac y obtener las ecuaciones de movimiento correctas, que se puede confirmar fácilmente.
Al cuantizar el sistema, es necesario el corchete de Dirac, entre todas las variables del espacio fase.
Ya que no conmutan las dos coordenadas, hay un relación de incertidumbre para las posiciones