En mecánica cuántica, un conjunto completo de observables compatibles (CCOC) es un conjunto de operadores que conmutan cuyos eigenvectores ordinarios pueden utilizarse como base para expresar cualquier estado.
Por lo tanto, no es necesario especificar el orden en que se miden los diferentes observables.
La medición del conjunto completo de observables constituye una medición completa, en el sentido de que proyecta el estado cuántico del sistema sobre un vector único y conocido en la base definida por el conjunto de operadores.
Es decir, para preparar el estado completamente especificado, tenemos que tomar un estado cualquiera de forma arbitraria, y luego realizar una sucesión de mediciones correspondientes a todos los observables del conjunto, hasta que se convierta en un vector único y especificado en el espacio de Hilbert (salvo fase).
Entonces podemos escribir Ahora, podemos expandir cualquier estado arbitrario ket
un conjunto completo de eigenkets ortonormales del operador autoadjunto
Existe una solución no trivial si Esta es una ecuación de orden
Supongamos que existe un conjunto completo de estados cuánticos
, podemos escribir Si el sistema se encuentra en uno de los estados propios, digamos,
pueden ser medidos simultáneamente con cualquier nivel arbitrario de precisión, y obtendremos los resultados
Esta idea puede extenderse a más de dos observables.
se denomina CCOC si:[1] Dado un CCOC, podemos elegir una base para el espacio de estados formada por los eigenvectores comunes de los operadores correspondientes.
Dicho observable es en sí mismo una OCS autosuficiente.
Para ello, se introduce un segundo observable (llamémoslo
Puede ocurrir, sin embargo, que la degeneración no se elimine completamente.
que no identifica de forma única un vector propio.
En este caso, repetimos el proceso anterior añadiendo otro observable
es única, es decir, especificada unívocamente por el conjunto de valores propios
Si no, añadimos un observable más compatible y continuamos el proceso hasta obtener un CCOC.
Un mismo espacio vectorial puede tener distintos conjuntos completos de operadores conmutativos.
Entonces podemos expandir cualquier estado general en el espacio de Hilbert como donde
Para un conjunto completo de operadores conmutativos, podemos encontrar una transformación unitaria que simultáneamente diagonalice a todos ellos.
Se puede demostrar que el cuadrado del operador de momento angular,
son generadores de rotación, se puede demostrar que Por tanto, un conjunto conmutador está formado por
La solución del problema nos dice que despreciando el espín de los electrones, el conjunto
especifica completamente un único estado propio del átomo de hidrógeno.
Sin embargo, si expresamos el hamiltoniano en base al operador de traslación, encontraremos que
dados por Por lo tanto, para el sistema completo, el conjunto de valores propios
Equivalentemente, existe otro conjunto de estados base para el sistema, en términos del operador de momento angular total
Por lo tanto, también podemos especificar un único estado base en el espacio de Hilbert del sistema completo por el conjunto de valores propios