Cocientes notables
En álgebra elemental, los cocientes notables son aquellos cocientes de cuyo resultado se obtienen polinomios exactos, es decir que el resto es igual a cero, obedeciendo a reglas fijas y que pueden averiguarse por simple inspección; es decir, sin efectuar la división.
Un cociente notable se define matemáticamente de la siguiente manera si el valor de los exponentes del denominador es igual a 1 (siendo los casos de este tipo los más sencillos):
[2]Asimismo, si el valor de los exponentes del denominador es distinto a 1, el cociente notable puede representarse de las siguiente formas:
Finalmente, si los primeros y segundos exponentes de los términos del numerador y del denominador difieren, el cociente notable puede expresarse de las siguiente maneras:
, incluyendo además de los enteros positivos y negativos a los exponentes formados por fracciones, números irracionales y números complejos; excepto en el caso de que los exponentes del denominador sean igual a 1, además de que siempre se cumpla
Un cociente no es definible como notable si dicho cociente está compuesto por exponentes negativos y positivos, o si
cuando ambos son positivos, porque da lugar a un resultado infinito.
El resto o residuo de la división, es igual a cero (
Si se divide entre una suma de potencias, los signos de los términos resultantes se alternarán entre + y -.
[3] Los siguientes 4 casos de cocientes notables surgen cuando el valor de los exponentes del denominador sea igual a 1.
[4] Este caso se produce cuando n es un número par o impar.
Este caso se produce cuando n es un número par.
Si n fuese impar, no resultaría un cociente notable.
Este caso se produce cuando n es un número impar.
Si n fuese par, no resultaría un cociente notable.
[5] Entonces, para estos casos, "m es necesariamente un factor de n", o lo que es lo mismo, "n es un múltiplo de m".
Este caso se produce cuando n es un número par o impar.
Para este caso no resulta eficaz reemplazar
da un número par el término se podrá eliminar:
En caso contrario, si se obtuviera un número impar resultaría:
Este caso se produce cuando n es un número impar.
Este caso especial se produce cuando n y m son números pares y m es factor de n. Este solo ocurre si el cociente de
da un número impar el término se podrá eliminar:
En caso contrario, si se obtuviera un número par resultaría:
da un número par el miembro de la izquierda no se eliminará:
Solo si es un cociente notable, se cumple las siguientes propiedades: Para hallar el número de términos que va a tener la solución de la división del siguiente cociente notable: Se calcula la división de los exponentes de la misma variable: Ejemplo: Sea el cociente notable
Para hallar el número de términos del resultado se realiza lo siguiente:
Si te piden el término, lugar o posición k, del siguiente cociente notable: El término general
se calcula de las siguientes maneras: Si el valor de los exponentes del denominador es 1 (m=1), las anteriores fórmulas se pueden simplificar:[2] Ejemplo: Sea el cociente notable
Para hallar el término central que posee la solución de un cociente notable, antes es necesario encontrar qué posición k tendrá dicho término.
