Después de hacer los estudios secundarios a su ciudad natal de Berna, Eckmann se matriculó en el ETH Zürich en 1935, escuela superior en la que se graduó en 1939.

[2]​ Después de la graduación fue nombrado ayudante del profesor Walter Saxer, mientras preparaba el doctorado, que obtuvo en 1942 con una tesis dirigida por Heinz Hopf.

[3]​ Desde 1942 hasta 1948 fue profesor a la universidad de Lausana y en 1948 volvió en el ETH Zürich donde permaneció hasta el 1984 cuando pasó a ser profesor emérito, manteniendo la vinculación con la escuela hasta el final de sus días.

[4]​ Fue secretario de la Sociedad Matemátrico Suiza (1962-1963) director del Centro de Investigación Matemática de Zúrich (1964-1984).

[5]​ Su campo de trabajo fue la topología, específicamente la homotopía y la dualidad,[6]​[7]​ y temas relacionados con la teoría de categorías y el álgebra homológica.