[1] Decimos que la base genera la topología T y a los elementos de β les llamamos abiertos básicos.
Las bases son de gran utilidad, pues muchas propiedades de las topologías pueden reducirse a afirmaciones sobre una base que genere dicha topología.
[2] Ya comentamos que una familia arbitraria de subconjuntos no formará una base.
Será interesante disponer de un criterio para decidir si la forman o no.
En particular, la intersección de todas las topologías en X que contiene a S satisface esta condición.
La topología usual en los números reales R tiene una subbase formada por todos los intervalos abiertos semi-infinitos bien sea de la forma (−∞,a) o (b,∞) donde a y b son números reales.
Una segunda subbase se forma tomando la subfamilia donde a y b son racionales.
La topología inicial definida por la familia de funciones fi: X → Yi, donde cada Yi tiene una topología, es la topología más gruesa en X, tal que cada fi es continua; ya que la continuidad puede ser definida por las imágenes inversas de los conjuntos abiertos; esto significa que la topología más débil en X es dada tomando todas las fi−1(Ui), donde Ui varía en todo el conjunto abierto de Yi, como una subbase.