Axioma
Axioma es una proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración.
[2] Introducido originalmente por los matemáticos griegos del período helenístico, el axioma se consideraba como una proposición «evidente» y que se aceptaba sin requerir demostración previa.
[3] Posteriormente, en un sistema hipotético-deductivo, un axioma era toda proposición no deducida de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico (por oposición a los postulados).
En lógica un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
Los axiomas no lógicos también pueden denominarse «postulados» o «suposiciones».
En la mayoría de los casos, un axioma no lógico es simplemente una expresión lógica formal utilizada en la deducción para construir una teoría matemática, y puede o no ser evidente por sí mismo (por ejemplo, el postulado paralelo en geometría euclidiana).
El término viene del verbo griego ἀξιόειν (axioein), que significa «valorar», que a su vez procede de ἄξιος (axios): «valioso» o «digno».
Entre los filósofos griegos antiguos, un axioma era lo que parecía verdadero sin necesidad de prueba alguna.
[6] El significado raíz de la palabra postulado es exigir; por ejemplo, Euclides exige que uno esté de acuerdo en que algunas cosas se pueden hacer (por ejemplo, dos puntos cualesquiera se pueden unir por una línea recta).
[8] Boecio tradujo 'postulado' como petitio y llamó a los axiomas notiones communes pero en manuscritos posteriores no siempre se mantuvo estrictamente este uso.
Los objetos matemáticos se generaron como abstracciones o idealizaciones de la realidad física.
Los axiomas, ya sea aceptados como «evidentes» desde un punto de vista filosófico o bien meramente como abrumadoramente plausibles, se aceptan sin demostración; sobre ellos se ha erigido la cristalizada estructura de las matemáticas.
Los axiomas y postulados son, por tanto, los supuestos básicos que subyacen a un determinado cuerpo de conocimiento deductivo.
Sin embargo, la interpretación del conocimiento matemático ha cambiado de la antigüedad a la modernidad y, en consecuencia, los términos axioma y postulado tienen un significado ligeramente distinto para el matemático actual del que tenían para Aristóteles y Euclides.
Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje formal que son universalmente válidas, esto es fórmulas satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable.
Comúnmente se toma como axioma un conjunto mínimo de tautologías suficientes para probar una teoría.
En cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes: donde
Por ejemplo si p, q, y r son variables proposicionales, entonces
Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, todas las tautologías del cálculo proposicional son demostrables.
Para no incurrir en vaguedad o en una serie infinita de «nociones primitivas», primero se necesita una idea de lo que se desea expresar mediante
, o definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo
es un objeto particular en la estructura, se estaría en capacidad de afirmar
En efecto, estos ejemplos son metateoremas de la teoría de lógica matemática, ya que la referencia es meramente al concepto demostrativo en sí.
Los axiomas serán, por tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas y cuya veracidad no puede ser demostrada a partir de otros axiomas.
El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia son los teoremas.
Eso significa que junto con los axiomas lógicos ordinarios de una teoría de primer orden se introducían símbolos extralógicos (para constantes, funciones y predicados) y ciertos axiomas matemáticos que usaban dichos signos que restringían su comportamiento.
Cada teoría matemática necesita un conjunto diferente de signos extralógicos, por ejemplo la aritmética de primer orden requiere la función «siguiente» y una constante que designe al primer de los números naturales (a partir de esos dos signos nuevos una constante y una función, son definibles la suma, la multiplicación, la relación de orden «menor o igual» y todas las nociones necesarias para la aritmética).
A mediados del siglo XX, Kurt Gödel demostró sus famosos teoremas de incompletitud.
Esa condición técnica se requiere ya que si el conjunto de axiomas no es recursivo entonces la teoría ni siquiera será decidible.
Con esa restricción Gödel demostró, que si la teoría admite un modelo de cierta complejidad siempre hay una proposición P verdadera pero no demostrable.
