Nació en Reykjavik, Islandia, su nombre completo era Anna Gudmundina Gudrun Borgthórsdottir.
Borg estudió en la escuela del Teatro Real de Copenhague en 1928, y debutó como actriz al siguiente año encarnando a Maria en la obra Galgemanden.
A partir de 1958 dio clases en la escuela del Teatro Real.
Por su trayectoria, en 1941 se le concedió la medalla Ingenio et arti.
Fue enterrada junto a Poul Reumert en el Cementerio Mariebjerg de Copenhague.