Finnbogason comenzó a jugar al fútbol en las divisiones inferiores del club Fjölnir de Reikiavik, su ciudad natal.
[4] Finnbogason se unió al Breiðablik UBK en 2005 y fue parte del exitoso equipo juvenil del club que incluyó a jugadores islandeses tales como Gylfi Sigurðsson, Jóhann Berg Guðmundsson, Elfar Freyr Helgason, Guðmundur Kristjánsson y Aron Jóhannsson.
Hizo su debut profesional con el Breiðablik en 2009, y al final de esa temporada fue seleccionado como el mejor jugador joven del club.
En 2010, Finnbogason terminó la temporada como el máximo anotador de la Liga Islandesa junto a Gilles Daniel Mbang Ondo y Atli Viðar Björnsson con 14 goles.
Sus primeros goles, no llegaron hasta el 17 de diciembre cuando anotó un doblete ante el Real Oviedo (2:0) en la Copa del Rey.
Islandia perdería los siguientes dos partidos, y quedaría eliminada en la primera fase, a pesar del promisorio debut mundialista.