La teoría ingenua de conjuntos es cualquiera de varias teorías de conjuntos utilizadas en la discusión de los fundamentos de las matemáticas . [3] A diferencia de las teorías de conjuntos axiomáticas , que se definen utilizando la lógica formal , la teoría de conjuntos ingenua se define informalmente, en lenguaje natural . Describe los aspectos de los conjuntos matemáticos familiares en las matemáticas discretas (por ejemplo, los diagramas de Venn y el razonamiento simbólico sobre su álgebra de Boole ) y es suficiente para el uso cotidiano de los conceptos de la teoría de conjuntos en las matemáticas contemporáneas. [4]
Los conjuntos son de gran importancia en matemáticas; en los tratamientos formales modernos, la mayoría de los objetos matemáticos ( números , relaciones , funciones , etc.) se definen en términos de conjuntos. La ingenua teoría de conjuntos es suficiente para muchos propósitos, y al mismo tiempo sirve como trampolín hacia tratamientos más formales.
Una teoría ingenua en el sentido de "teoría ingenua de conjuntos" es una teoría no formalizada, es decir, una teoría que utiliza el lenguaje natural para describir conjuntos y operaciones en conjuntos. Esta teoría trata los conjuntos como objetos absolutos platónicos. Las palabras y , o , si... entonces , no , para algunos , para todos se tratan como en matemáticas ordinarias. Por conveniencia, el uso de la teoría ingenua de conjuntos y su formalismo prevalece incluso en las matemáticas superiores, incluso en entornos más formales de la propia teoría de conjuntos.
El primer desarrollo de la teoría de conjuntos fue una teoría de conjuntos ingenua. Fue creado a finales del siglo XIX por Georg Cantor como parte de su estudio de los conjuntos infinitos [5] y desarrollado por Gottlob Frege en su Grundgesetze der Arithmetik .
La teoría ingenua de conjuntos puede referirse a varias nociones muy distintas. Puede referirse a
La suposición de que cualquier propiedad puede usarse para formar un conjunto, sin restricción, conduce a paradojas . Un ejemplo común es la paradoja de Russell : no existe un conjunto que consista en "todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos". Por tanto, los sistemas consistentes de teoría ingenua de conjuntos deben incluir algunas limitaciones sobre los principios que pueden usarse para formar conjuntos.
Algunos creen que la teoría de conjuntos de Georg Cantor en realidad no estuvo implicada en las paradojas de la teoría de conjuntos (ver Frápolli 1991). Una dificultad para determinar esto con certeza es que Cantor no proporcionó una axiomatización de su sistema. En 1899, Cantor era consciente de algunas de las paradojas que se derivaban de la interpretación irrestricta de su teoría, por ejemplo la paradoja de Cantor [8] y la paradoja de Burali-Forti , [9] y no creía que desacreditaran su teoría. [10] La paradoja de Cantor en realidad puede derivarse de la suposición (falsa) anterior: que cualquier propiedad P ( x ) puede usarse para formar un conjunto, usando para P ( x ) " x es un número cardinal ". Frege axiomatizó explícitamente una teoría en la que se puede interpretar una versión formalizada de la teoría ingenua de conjuntos, y es esta teoría formal la que en realidad abordó Bertrand Russell cuando presentó su paradoja, no necesariamente una teoría. Cantor, quien, como se mencionó, estaba al tanto de varios paradojas—presumiblemente tenía en mente.
La teoría de conjuntos axiomática se desarrolló en respuesta a estos primeros intentos de comprender los conjuntos, con el objetivo de determinar con precisión qué operaciones estaban permitidas y cuándo.
Una teoría de conjuntos ingenua no es necesariamente inconsistente si especifica correctamente los conjuntos que se pueden considerar. Esto se puede hacer mediante definiciones, que son axiomas implícitos. Es posible enunciar todos los axiomas explícitamente, como en el caso de la teoría ingenua de conjuntos de Halmos , que en realidad es una presentación informal de la habitual teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Es "ingenuo" porque el lenguaje y las notaciones son los de las matemáticas informales ordinarias y porque no aborda la coherencia ni la integridad del sistema de axiomas.
Asimismo, una teoría de conjuntos axiomática no es necesariamente consistente: no necesariamente está libre de paradojas. De los teoremas de incompletitud de Gödel se deduce que no se puede demostrar que un sistema lógico de primer orden suficientemente complicado (que incluye las teorías de conjuntos axiomáticas más comunes) sea consistente desde dentro de la teoría misma, incluso si en realidad es consistente. Sin embargo, generalmente se cree que los sistemas axiomáticos comunes son consistentes; por sus axiomas excluyen algunas paradojas, como la paradoja de Russell . Basándonos en el teorema de Gödel , simplemente no se sabe (y nunca se podrá saber) si no hay ninguna paradoja en estas teorías o en cualquier teoría de conjuntos de primer orden.
El término teoría ingenua de conjuntos todavía se utiliza hoy en cierta literatura [11] para referirse a las teorías de conjuntos estudiadas por Frege y Cantor, en lugar de a las contrapartes informales de la teoría de conjuntos axiomática moderna.
La elección entre un enfoque axiomático y otros enfoques es en gran medida una cuestión de conveniencia. En las matemáticas cotidianas, la mejor opción puede ser el uso informal de la teoría de conjuntos axiomática. Las referencias a axiomas particulares normalmente ocurren sólo cuando lo exige la tradición; por ejemplo, el axioma de elección a menudo se menciona cuando se usa. Asimismo, las pruebas formales sólo se producen cuando circunstancias excepcionales lo justifican. Este uso informal de la teoría de conjuntos axiomática puede tener (dependiendo de la notación) precisamente la apariencia de una teoría de conjuntos ingenua como se describe a continuación. Es considerablemente más fácil de leer y escribir (en la formulación de la mayoría de los enunciados, pruebas y líneas de discusión) y es menos propenso a errores que un enfoque estrictamente formal.
En la teoría ingenua de conjuntos, un conjunto se describe como una colección bien definida de objetos. Estos objetos se denominan elementos o miembros del conjunto. Los objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, otros conjuntos, etc. Por ejemplo, 4 es miembro del conjunto de todos los números enteros pares . Es evidente que el conjunto de números pares es infinitamente grande; no es necesario que un conjunto sea finito.
La definición de conjuntos se remonta a Georg Cantor . Escribió en su artículo de 1915 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre :
“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor
"Un conjunto es una reunión en un todo de objetos definidos y distintos de nuestra percepción o de nuestro pensamiento, que se denominan elementos del conjunto". – Georg Cantor
De esta definición no se sigue cómo se pueden formar conjuntos ni qué operaciones sobre conjuntos producirán un conjunto. El término "bien definido" en "colección de objetos bien definida" no puede, por sí solo, garantizar la coherencia y la falta de ambigüedad de qué constituye exactamente y qué no constituye un conjunto. Intentar lograr esto sería el ámbito de la teoría axiomática de conjuntos o de la teoría axiomática de clases .
El problema, en este contexto, con las teorías de conjuntos formuladas informalmente, que no se derivan de (ni implican) ninguna teoría axiomática particular, es que puede haber varias versiones formalizadas muy diferentes, que tienen conjuntos diferentes y reglas diferentes sobre cómo se pueden formar nuevos conjuntos. formados, que todos se ajusten a la definición informal original. Por ejemplo, la definición literal de Cantor permite una libertad considerable en lo que constituye un conjunto. Por otro lado, es poco probable que Cantor estuviera particularmente interesado en conjuntos que contienen perros y gatos, sino más bien sólo en conjuntos que contienen objetos puramente matemáticos. Un ejemplo de tal clase de conjuntos podría ser el universo de von Neumann . Pero incluso cuando se fija la clase de conjuntos bajo consideración, no siempre está claro qué reglas para la formación de conjuntos están permitidas sin introducir paradojas.
Con el fin de arreglar la discusión a continuación, el término "bien definido" debe interpretarse como una intención , con reglas implícitas o explícitas (axiomas o definiciones), para descartar inconsistencias. El propósito es mantener las cuestiones de coherencia, a menudo profundas y difíciles, alejadas del contexto actual, generalmente más simple. De todos modos, para una teoría de conjuntos axiomática no se puede lograr una exclusión explícita de todas las inconsistencias (paradojas) concebibles, debido al segundo teorema de incompletitud de Gödel, por lo que esto no obstaculiza en absoluto la utilidad de la teoría de conjuntos ingenua en comparación con la teoría de conjuntos axiomática en el sentido simple. contextos que se consideran a continuación. Simplemente simplifica la discusión. De ahora en adelante, la coherencia se da por sentada a menos que se mencione explícitamente.
Si x es miembro de un conjunto A , entonces también se dice que x pertenece a A , o que x está en A. Esto se denota por x ∈ A . El símbolo ∈ es una derivación de la letra griega minúscula épsilon , "ε", introducida por Giuseppe Peano en 1889 y es la primera letra de la palabra ἐστί (significa "es"). El símbolo ∉ se usa a menudo para escribir x ∉ A , lo que significa "x no está en A".
Se define que dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos, es decir, si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A. (Ver axioma de extensionalidad .) Así, un conjunto está completamente determinado por sus elementos; la descripción es irrelevante. Por ejemplo, el conjunto con los elementos 2, 3 y 5 es igual al conjunto de todos los números primos menores que 6. Si los conjuntos A y B son iguales, esto se denota simbólicamente como A = B (como es habitual).
El conjunto vacío , denotado como y a veces , es un conjunto sin ningún miembro. Como un conjunto está determinado completamente por sus elementos, sólo puede haber un conjunto vacío. (Ver axioma del conjunto vacío .) [12] Aunque el conjunto vacío no tiene miembros, puede ser miembro de otros conjuntos. Así , porque el primero no tiene miembros y el segundo tiene un miembro. [13]
La forma más sencilla de describir un conjunto es enumerar sus elementos entre llaves (lo que se conoce como definir un conjunto extensivamente ). Así, {1, 2} denota el conjunto cuyos únicos elementos son1 y2 . (Ver axioma de emparejamiento ). Tenga en cuenta los siguientes puntos:
(Estas son consecuencias de la definición de igualdad en la sección anterior.)
Se puede abusar informalmente de esta notación diciendo algo como {perros} para indicar el conjunto de todos los perros, pero los matemáticos normalmente leerían este ejemplo como "el conjunto que contiene el elemento único perros ".
Un ejemplo extremo (pero correcto) de esta notación es {} , que denota el conjunto vacío.
La notación { x : P ( x )} , o a veces { x | P ( x )} , se utiliza para denotar el conjunto que contiene todos los objetos para los cuales se cumple la condición P (lo que se conoce como definir un conjunto intencionalmente ). Por ejemplo, { x | x ∈ R } denota el conjunto de números reales , { x | x tiene cabello rubio} denota el conjunto de todo lo que tiene cabello rubio.
Esta notación se llama notación de creación de conjuntos (o " comprensión de conjuntos ", particularmente en el contexto de la programación funcional ). Algunas variantes de la notación del constructor de conjuntos son:
Dados dos conjuntos A y B , A es un subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B. En particular, cada conjunto B es un subconjunto de sí mismo; un subconjunto de B que no es igual a B se llama subconjunto propio .
Si A es un subconjunto de B , entonces también se puede decir que B es un superconjunto de A , que A está contenido en B o que B contiene A. En símbolos, A ⊆ B significa que A es un subconjunto de B y B ⊇ A significa que B es un superconjunto de A. Algunos autores usan los símbolos ⊂ y ⊃ para subconjuntos, y otros usan estos símbolos solo para subconjuntos propios . Para mayor claridad, se pueden utilizar explícitamente los símbolos ⊊ y ⊋ para indicar no igualdad.
A modo de ilustración, sea R el conjunto de números reales, sea Z el conjunto de números enteros, sea O el conjunto de números enteros impares y sea P el conjunto de presidentes actuales o anteriores de Estados Unidos . Entonces O es un subconjunto de Z , Z es un subconjunto de R y (por lo tanto) O es un subconjunto de R , donde en todos los casos el subconjunto puede incluso leerse como un subconjunto adecuado . No todos los conjuntos son comparables en este sentido. Por ejemplo, no se da el caso de que R sea un subconjunto de P ni de que P sea un subconjunto de R .
De la definición anterior de igualdad de conjuntos se deduce inmediatamente que, dados dos conjuntos A y B , A = B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. De hecho, esto se suele dar como definición de igualdad. Por lo general, cuando se intenta demostrar que dos conjuntos son iguales, el objetivo es mostrar estas dos inclusiones. El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto (la afirmación de que todos los elementos del conjunto vacío son también miembros de cualquier conjunto A es vagamente cierta ).
El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado A se llama conjunto potencia de A y se denota por o ; la " P " a veces está en una fuente script : . Si el conjunto A tiene n elementos, entonces tendrá elementos.
En ciertos contextos, se pueden considerar todos los conjuntos considerados como subconjuntos de algún conjunto universal dado . Por ejemplo, al investigar las propiedades de los números reales R (y subconjuntos de R ), R puede tomarse como el conjunto universal. Un verdadero conjunto universal no está incluido en la teoría de conjuntos estándar (ver Paradojas a continuación), pero sí en algunas teorías de conjuntos no estándar.
Dado un conjunto universal U y un subconjunto A de U , el complemento de A (en U ) se define como
En otras palabras, A C (" A-complemento "; a veces simplemente A ' , " A-primo ") es el conjunto de todos los miembros de U que no son miembros de A. Así, con R , Z y O definidos como en la sección sobre subconjuntos, si Z es el conjunto universal, entonces O C es el conjunto de los enteros pares, mientras que si R es el conjunto universal, entonces O C es el conjunto de todos los números reales. que son números enteros pares o no son números enteros en absoluto.
Dados dos conjuntos A y B , su unión es el conjunto formado por todos los objetos que son elementos de A o de B o de ambos (ver axioma de unión ). Se denota por A ∪ B .
La intersección de A y B es el conjunto de todos los objetos que están tanto en A como en B. Se denota por A ∩ B .
Finalmente, el complemento relativo de B con respecto a A , también conocido como diferencia teórica de conjuntos de A y B , es el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A pero no a B. Se escribe como A \ B o A − B .
Simbólicamente, estos son respectivamente
El conjunto B no tiene que ser un subconjunto de A para que A \ B tenga sentido; esta es la diferencia entre el complemento relativo y el complemento absoluto ( A C = U \ A ) de la sección anterior.
Para ilustrar estas ideas, sea A el conjunto de personas zurdas y B el conjunto de personas con cabello rubio. Entonces A ∩ B es el conjunto de todas las personas zurdas y rubias, mientras que A ∪ B es el conjunto de todas las personas zurdas o rubias o ambas. A \ B , por otro lado, es el conjunto de todas las personas que son zurdas pero no rubias, mientras que B \ A es el conjunto de todas las personas que tienen cabello rubio pero no son zurdas.
Ahora sea E el conjunto de todos los seres humanos y sea F el conjunto de todos los seres vivos de más de 1000 años. ¿Qué es E ∩ F en este caso? Ningún ser humano vivo tiene más de 1000 años , por lo que E ∩ F debe ser el conjunto vacío {}.
Para cualquier conjunto A , el conjunto potencia es un álgebra booleana bajo las operaciones de unión e intersección.
Intuitivamente, un par ordenado es simplemente una colección de dos objetos de modo que uno puede distinguirse como primer elemento y el otro como segundo elemento , y que tiene la propiedad fundamental de que dos pares ordenados son iguales si y sólo si sus primeros elementos son iguales. iguales y sus segundos elementos son iguales.
Formalmente, un par ordenado con la primera coordenada a y la segunda coordenada b , generalmente denotada por ( a , b ), se puede definir como el conjunto
De ello se deduce que dos pares ordenados ( a , b ) y ( c , d ) son iguales si y sólo si a = c y b = d .
Alternativamente, un par ordenado puede considerarse formalmente como un conjunto {a,b} con un orden total .
(La notación ( a , b ) también se usa para denotar un intervalo abierto en la recta numérica real , pero el contexto debe dejar claro qué significado se pretende. De lo contrario, la notación ] a , b [ puede usarse para denotar el intervalo abierto intervalo mientras que ( a , b ) se utiliza para el par ordenado).
Si A y B son conjuntos, entonces el producto cartesiano (o simplemente producto ) se define como:
Es decir, A × B es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera coordenada es un elemento de A y cuya segunda coordenada es un elemento de B.
Esta definición puede extenderse a un conjunto A × B × C de tripletas ordenadas y, de manera más general, a conjuntos de n-tuplas ordenadas para cualquier entero positivo n . Incluso es posible definir infinitos productos cartesianos , pero esto requiere una definición más recóndita del producto.
Los productos cartesianos fueron desarrollados por primera vez por René Descartes en el contexto de la geometría analítica . Si R denota el conjunto de todos los números reales , entonces R 2 := R × R representa el plano euclidiano y R 3 := R × R × R representa el espacio euclidiano tridimensional .
Hay algunos conjuntos ubicuos para los cuales la notación es casi universal. Algunos de estos se enumeran a continuación. En la lista, a , b y c se refieren a números naturales , y r y s son números reales .
El principio de formación irrestricta de conjuntos, denominado esquema axiomático de comprensión irrestricta ,
es la fuente de varias paradojas que aparecen tempranamente:
Si el esquema axiomático de comprensión irrestricta se debilita al esquema axiomático de especificación o al esquema axiomático de separación ,
entonces todas las paradojas anteriores desaparecen. [14] Hay un corolario. Con el esquema axiomático de separación como axioma de la teoría, se sigue, como teorema de la teoría:
O, más espectacularmente (frase de Halmos [15] ): No hay universo . Prueba : Supongamos que existe y llámelo U. Ahora aplique el esquema del axioma de separación con X = U y para P ( x ) use x ∉ x . Esto lleva nuevamente a la paradoja de Russell. Por tanto, U no puede existir en esta teoría. [14]
Relacionado con las construcciones anteriores está la formación del conjunto.
donde la afirmación que sigue a la implicación ciertamente es falsa. De la definición de Y , utilizando las reglas de inferencia habituales (y algunas reflexiones posteriores al leer la prueba en el artículo vinculado a continuación), se deduce que Y ∈ Y → {} ≠ {} e Y ∈ Y se cumplen, por lo tanto, {} ≠ { } . Ésta es la paradoja de Curry .
No es (quizás sorprendentemente) la posibilidad de que x ∈ x sea problemática. Es nuevamente el esquema axioma de comprensión irrestricta que permite ( x ∈ x ) → {} ≠ {} para P ( x ) . Con el esquema axiomático de especificación en lugar de comprensión irrestricta, la conclusión Y ∈ Y no se cumple y, por tanto, {} ≠ {} no es una consecuencia lógica.
No obstante, la posibilidad de x ∈ x a menudo se elimina explícitamente [16] o, por ejemplo, en ZFC, implícitamente, [17] al exigir que se cumpla el axioma de regularidad . [17] Una consecuencia de esto es
o, en otras palabras, ningún conjunto es un elemento en sí mismo. [18]
El esquema axiomático de separación es simplemente demasiado débil (mientras que la comprensión irrestricta es un axioma muy fuerte, demasiado fuerte para la teoría de conjuntos) para desarrollar la teoría de conjuntos con sus operaciones y construcciones habituales esbozadas anteriormente. [14] El axioma de regularidad es también de naturaleza restrictiva. Por tanto, uno se ve llevado a la formulación de otros axiomas para garantizar la existencia de suficientes conjuntos para formar una teoría de conjuntos. Algunas de ellas se han descrito informalmente anteriormente y muchas otras son posibles. No todos los axiomas concebibles pueden combinarse libremente en teorías consistentes. Por ejemplo, el axioma de elección de ZFC es incompatible con el concebible "todo conjunto de reales es mensurable según Lebesgue ". Lo primero implica que lo segundo es falso.
{{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace ){{citation}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )