Velocidad

Velocidad y dirección de un movimiento.

La velocidad es la rapidez en combinación con la dirección del movimiento de un objeto . La velocidad es un concepto fundamental en cinemática , la rama de la mecánica clásica que describe el movimiento de los cuerpos.

La velocidad es una cantidad vectorial física : se necesitan tanto la magnitud como la dirección para definirla. El valor escalar absoluto ( magnitud ) de la velocidad se llama velocidad , siendo una unidad derivada coherente cuya cantidad se mide en el SI ( sistema métrico ) como metros por segundo (m/s o m⋅s ⁻¹ ). Por ejemplo, "5 metros por segundo" es un escalar, mientras que "5 metros por segundo al este" es un vector. Si hay un cambio de velocidad, dirección o ambas, entonces se dice que el objeto está sufriendo una aceleración .

Definición

Velocidad media

La velocidad promedio de un objeto durante un período de tiempo es su cambio de posición , dividido por la duración del período, dado matemáticamente como ^[1] ${\displaystyle \Delta s}$ ${\displaystyle \Delta t}$

$${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$$

Velocidad instantánea

Ejemplo de un gráfico de velocidad versus tiempo y la relación entre la velocidad v en el eje y, la aceleración a (las tres líneas tangentes verdes representan los valores de aceleración en diferentes puntos a lo largo de la curva) y el desplazamiento s (el área amarilla debajo del curva.)

La velocidad instantánea de un objeto es la velocidad promedio límite cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero. En cualquier momento particular t , se puede calcular como la derivada de la posición con respecto al tiempo: ^[2]

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.}$$

A partir de esta ecuación derivada, en el caso unidimensional se puede ver que el área bajo una velocidad versus tiempo ( gráfica v versus t ) es el desplazamiento, s . En términos de cálculo, la integral de la función de velocidad v ( t ) es la función de desplazamiento s ( t ) . En la figura, esto corresponde al área amarilla debajo de la curva.

s = ∫ v re t . {\displaystyle {\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt.}

Aunque el concepto de velocidad instantánea puede parecer al principio contrario a la intuición, se puede considerar como la velocidad a la que el objeto continuaría viajando si dejara de acelerar en ese momento.

Diferencia entre rapidez y velocidad

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica: masa m , posición r , velocidad v , aceleración a .

Si bien los términos rapidez y velocidad a menudo se usan coloquialmente indistintamente para connotar qué tan rápido se mueve un objeto, en términos científicos son diferentes. La velocidad, la magnitud escalar de un vector de velocidad, denota solo qué tan rápido se mueve un objeto, mientras que la velocidad indica tanto la velocidad como la dirección de un objeto. ^{[3] [4] [5]}

Para tener una velocidad constante , un objeto debe tener una velocidad constante en una dirección constante. La dirección constante obliga al objeto a moverse en línea recta, por lo tanto, una velocidad constante significa movimiento en línea recta a una velocidad constante.

Por ejemplo, un automóvil que se mueve a una velocidad constante de 20 kilómetros por hora en una trayectoria circular tiene una velocidad constante, pero no tiene una velocidad constante porque su dirección cambia. Por tanto, se considera que el coche está sufriendo una aceleración.

Unidades

Dado que la derivada de la posición con respecto al tiempo da el cambio de posición (en metros ) dividido por el cambio de tiempo (en segundos ), la velocidad se mide en metros por segundo (m/s).

Ecuación de movimiento

Velocidad media

La velocidad se define como la tasa de cambio de posición con respecto al tiempo, que también puede denominarse velocidad instantánea para enfatizar la distinción con la velocidad promedio. En algunas aplicaciones, podría ser necesaria la velocidad promedio de un objeto, es decir, la velocidad constante que proporcionaría el mismo desplazamiento resultante que una velocidad variable en el mismo intervalo de tiempo, v ( t ) , durante algún período de tiempo Δ t . La velocidad promedio se puede calcular como: ^{[6] [7]}

v ¯ = Δ x Δ t = ∫ t 0 t 1 v ( t ) re t t 1 − t 0 . {\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1 }}\mathbf {v} (t)dt}{t_{1}-t_{0}}}.}

La velocidad promedio es siempre menor o igual a la velocidad promedio de un objeto. Esto se puede ver al darse cuenta de que, si bien la distancia siempre aumenta estrictamente, el desplazamiento puede aumentar o disminuir en magnitud, así como cambiar de dirección.

En términos de una gráfica de desplazamiento-tiempo ( x vs. t ), la velocidad instantánea (o, simplemente, la velocidad) puede considerarse como la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto , y la velocidad promedio como la pendiente. de la recta secante entre dos puntos con coordenadas t iguales a los límites del período de tiempo para la velocidad promedio.

Casos especiales

• Cuando una partícula se mueve con diferentes velocidades uniformes v ₁ , v ₂ , v ₃ , ..., v _n en diferentes intervalos de tiempo t ₁ , t ₂ , t ₃ , ..., t _n respectivamente, entonces la velocidad promedio sobre el total El tiempo de viaje se da como
  $${\displaystyle {\bar {v}}={v_{1}t_{1}+v_{2}t_{2}+v_{3}t_{3}+\dots +v_{n}t_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}}$$

Si t ₁ = t ₂ = t ₃ = ... = t , entonces la velocidad promedio viene dada por la media aritmética de las velocidades

$${\displaystyle {\bar {v}}={v_{1}+v_{2}+v_{3}+\dots +v_{n} \over n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{v_{i}}}$$

• Cuando una partícula se mueve diferentes distancias s ₁ , s ₂ , s ₃ ,..., s _n con velocidades v ₁ , v ₂ , v ₃ ,..., v _n respectivamente, entonces la velocidad promedio de la partícula sobre el total la distancia se da como ^[8]

$${\displaystyle {\bar {v}}={s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}={{s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n}} \over {{s_{1} \over v_{1}}+{s_{2} \over v_{2}}+{s_{3} \over v_{3}}+\dots +{s_{n} \over v_{n}}}}}$$

s ₁ = s ₂ = s ₃ = ... = smedia armónica^[8]

$${\displaystyle {\bar {v}}=n\left({1 \over v_{1}}+{1 \over v_{2}}+{1 \over v_{3}}+\dots +{1 \over v_{n}}\right)^{-1}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{v_{i}}}\right)^{-1}.}$$

Relación con la aceleración

Aunque la velocidad se define como la tasa de cambio de posición, a menudo es común comenzar con una expresión para la aceleración de un objeto . Como se ve por las tres líneas tangentes verdes en la figura, la aceleración instantánea de un objeto en un momento dado es la pendiente de la línea tangente a la curva de una gráfica v ( t ) en ese punto. En otras palabras, la aceleración instantánea se define como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo: ^[9]

a = re v re t . {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}.}

A partir de ahí, podemos obtener una expresión para la velocidad como el área bajo una gráfica a ( t ) de aceleración versus tiempo. Como arriba, esto se hace usando el concepto de integral:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt.}$$

Aceleración constante

En el caso especial de aceleración constante, la velocidad se puede estudiar utilizando las ecuaciones de suvat . Al considerar a como igual a algún vector constante arbitrario, es trivial demostrar que

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t}$$

vtut = 0x = u t + a t ² /2

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}t={\boldsymbol {\bar {v}}}t.}$$

ecuación de Torricelli

$${\displaystyle v^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)\cdot ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)=u^{2}+2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}}$$

$${\displaystyle (2{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {x}}=(2{\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {u}}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2})=2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}=v^{2}-u^{2}}$$

$${\displaystyle \therefore v^{2}=u^{2}+2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}})}$$

v = | v |

Las ecuaciones anteriores son válidas tanto para la mecánica newtoniana como para la relatividad especial . Donde difieren la mecánica newtoniana y la relatividad especial es en cómo distintos observadores describirían la misma situación. En particular, en la mecánica newtoniana, todos los observadores están de acuerdo en el valor de t y las reglas de transformación para la posición crean una situación en la que todos los observadores que no aceleran describirían la aceleración de un objeto con los mismos valores. Ninguna de las dos cosas es cierta para la relatividad especial. En otras palabras, sólo se puede calcular la velocidad relativa.

Cantidades que dependen de la velocidad

Impulso

En la mecánica clásica, la segunda ley de Newton define el momento , p, como un vector que es el producto de la masa y la velocidad de un objeto, dado matemáticamente como

p = metro v {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}

m

Energía cinética

La energía cinética de un objeto en movimiento depende de su velocidad y viene dada por la ecuación ^[10]

mi k = 1 2 metro v 2 {\displaystyle E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}

E _k

Arrastre (resistencia a los fluidos)

En dinámica de fluidos , la resistencia es una fuerza que actúa en sentido opuesto al movimiento relativo de cualquier objeto que se mueve con respecto al fluido circundante. La fuerza de arrastre, , depende del cuadrado de la velocidad y se expresa como ${\displaystyle F_{D}}$

$${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A}$$

• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido, ^[11]
• ${\displaystyle v}$es la velocidad del objeto en relación con el fluido,
• ${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal , y
• ${\displaystyle C_{D}}$es el coeficiente de resistencia , un número adimensional .

Velocidad de escape

La velocidad de escape es la velocidad mínima que necesita un objeto balístico para escapar de un cuerpo masivo como la Tierra. Representa la energía cinética que, sumada a la energía potencial gravitacional del objeto (que siempre es negativa), es igual a cero. La fórmula general para la velocidad de escape de un objeto a una distancia r del centro de un planeta con masa M es ^[12]

$${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},}$$

Gconstante gravitacionalgaceleración gravitacional

El factor de Lorentz de la relatividad especial

En la relatividad especial , el factor de Lorentz adimensional aparece con frecuencia y viene dado por ^[13]

γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

c

Velocidad relativa

La velocidad relativa es una medida de la velocidad entre dos objetos determinada en un único sistema de coordenadas. La velocidad relativa es fundamental tanto en la física clásica como en la moderna, ya que muchos sistemas en física tratan con el movimiento relativo de dos o más partículas.

Considere un objeto A que se mueve con un vector de velocidad v y un objeto B con un vector de velocidad w ; Estas velocidades absolutas normalmente se expresan en el mismo sistema de referencia inercial . Entonces, la velocidad del objeto A en relación con el objeto B se define como la diferencia de los dos vectores de velocidad:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{A{\text{ relative to }}B}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {w}}}$$

wv

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{B{\text{ relative to }}A}={\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {v}}}$$

En la mecánica newtoniana, la velocidad relativa es independiente del sistema de referencia inercial elegido. Este ya no es el caso de la relatividad especial, en la que las velocidades dependen de la elección del sistema de referencia.

Velocidades escalares

En el caso unidimensional, ^[14] las velocidades son escalares y la ecuación es:

$${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(-w),}$$

$${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(+w),}$$

Sistemas coordinados

Coordenadas cartesianas

En los sistemas de coordenadas cartesianas multidimensionales , la velocidad se divide en componentes que se corresponden con cada eje dimensional del sistema de coordenadas. En un sistema bidimensional, donde hay un eje x y un eje y, los componentes de velocidad correspondientes se definen como ^[15]

$${\displaystyle v_{x}=dx/dt,}$$

$${\displaystyle v_{y}=dy/dt.}$$

El vector velocidad bidimensional se define entonces como La magnitud de este vector representa la velocidad y se encuentra mediante la fórmula de la distancia como ${\displaystyle {\textbf {v}}=<v_{x},v_{y}>}$

$${\displaystyle |v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}.}$$

En sistemas tridimensionales donde hay un eje z adicional, el componente de velocidad correspondiente se define como

$${\displaystyle v_{z}=dz/dt.}$$

El vector de velocidad tridimensional se define como si su magnitud también representara la velocidad y estuviera determinada por ${\displaystyle {\textbf {v}}=<v_{x},v_{y},v_{z}>}$

$${\displaystyle |v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$$

Mientras que algunos libros de texto usan notación de subíndices para definir los componentes cartesianos de la velocidad, otros usan , y para los ejes -, - y - respectivamente. ^[dieciséis] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Coordenadas polares

Representación de las componentes radial y tangencial de la velocidad en diferentes momentos del movimiento lineal con velocidad constante del objeto alrededor de un observador O (corresponde, por ejemplo, al paso de un coche en una calle recta alrededor de un peatón parado en la acera). La componente radial se puede observar debido al efecto Doppler , la componente tangencial provoca cambios visibles en la posición del objeto.

En coordenadas polares , una velocidad bidimensional se describe mediante una velocidad radial , definida como la componente de la velocidad que se aleja o se acerca al origen, y una velocidad transversal , perpendicular a la radial. ^{[17] [18]} Ambos surgen de la velocidad angular , que es la tasa de rotación alrededor del origen (donde las cantidades positivas representan la rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj y las cantidades negativas representan la rotación en el sentido de las agujas del reloj, en un sistema de coordenadas diestro).

Las velocidades radial y transversal se pueden derivar de los vectores cartesianos de velocidad y desplazamiento descomponiendo el vector de velocidad en componentes radial y transversal. La velocidad transversal es la componente de la velocidad a lo largo de un círculo centrado en el origen.

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}}$$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{T}}$es la velocidad transversal
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}}$es la velocidad radial.

La velocidad radial (o magnitud de la velocidad radial) es el producto escalar del vector velocidad y el vector unitario en la dirección radial.

$${\displaystyle v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$

La velocidad transversal (o magnitud de la velocidad transversal) es la magnitud del producto cruzado del vector unitario en la dirección radial y el vector velocidad. También es el producto escalar de la velocidad y la dirección transversal, o el producto de la velocidad angular y el radio (la magnitud de la posición). ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|}$$

$${\displaystyle \omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}.}$$

El momento angular en forma escalar es la masa multiplicada por la distancia al origen multiplicada por la velocidad transversal, o equivalentemente, la masa multiplicada por la distancia al cuadrado multiplicada por la velocidad angular. La convención de signos para el momento angular es la misma que para la velocidad angular.

$${\displaystyle L=mrv_{T}=mr^{2}\omega }$$

• ${\displaystyle m}$es masa
• ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|.}$

La expresión se conoce como momento de inercia . Si las fuerzas están en la dirección radial sólo con una dependencia inversa al cuadrado, como en el caso de una órbita gravitacional , el momento angular es constante y la velocidad transversal es inversamente proporcional a la distancia, la velocidad angular es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado y la La velocidad a la que se barre el área es constante. Estas relaciones se conocen como leyes del movimiento planetario de Kepler . ${\displaystyle mr^{2}}$

Ver también

• Cuatro velocidades (versión relativista de la velocidad para el espacio-tiempo de Minkowski )
• Velocidad de grupo
• hipervelocidad
• Velocidad de fase
• Velocidad adecuada (en relatividad, usando el tiempo del viajero en lugar del tiempo del observador)
• Rapidez (una versión del aditivo de velocidad a velocidades relativistas)
• Velocidad terminal
• Campo de velocidad
• Gráfico de velocidad versus tiempo

Notas

• Robert Resnick y Jearl Walker, Fundamentos de Física , Wiley; 7 Subedición (16 de junio de 2004). ISBN  0-471-23231-9 .

Referencias

1. "Las conferencias Feynman sobre física Vol. I Capítulo 8: Movimiento". www.feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 5 de enero de 2024 .
2. David Halliday; Robert Resnick; Jearl Walker (2021). Fundamentos de Física, ampliado (12ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 71.ISBN​ 978-1-119-77351-1.Extracto de la página 71
3. Richard P. Olenick; Tom M. Apóstol; David L. Goodstein (2008). El universo mecánico: introducción a la mecánica y el calor (edición ilustrada, reimpresa). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 84.ISBN​ 978-0-521-71592-8.Extracto de la página 84
4. Michael J. Cardamone (2007). Conceptos fundamentales de la física. Editores universales. pag. 5.ISBN​ 978-1-59942-433-0.Extracto de la página 5
5. Jerry D. Wilson; Antonio J. Buffa; Bo Lou (2022). College Physics Essentials, octava edición (juego de dos volúmenes) (edición ilustrada). Prensa CRC. pag. 40.ISBN​ 978-1-351-12991-6.Extracto de la página 40
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7. Adrián Banner (2007). The Calculus Lifesaver: todas las herramientas que necesita para sobresalir en Cálculo (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 350.ISBN​ 978-0-691-13088-0.Extracto de la página 350
8. Giri y Bannerjee (2002). Herramientas y técnicas estadísticas. Editores académicos. pag. 4.ISBN​ 978-81-87504-39-9.Extracto de la página 4
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11. Para la atmósfera terrestre , la densidad del aire se puede encontrar mediante la fórmula barométrica . Es 1,293 kg/m ³ a 0 °C y 1 atmósfera .
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15. "Las conferencias de física de Feynman, volumen I, capítulo 9: leyes de la dinámica de Newton". www.feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 4 de enero de 2024 .
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18. Anup Goel; HJ Sawant (2021). Ingeniería Mecánica. Publicaciones técnicas. pag. 8.ISBN​ 978-93-332-2190-0.Extracto de la página 8

enlaces externos

• Velocidad y aceleración
• Introducción a los mecanismos ( Universidad Carnegie Mellon )