Normal (geometría)

Línea o vector perpendicular a una curva o una superficie

Un polígono y sus dos vectores normales

Una normal a una superficie en un punto es la misma que una normal al plano tangente a la superficie en el mismo punto.

En geometría , una normal es un objeto (por ejemplo, una línea , un rayo o un vector ) que es perpendicular a un objeto determinado. Por ejemplo, la línea normal a una curva plana en un punto determinado es la línea perpendicular a la línea tangente a la curva en el punto.

Un vector normal de longitud uno se denomina vector normal unitario . Un vector de curvatura es un vector normal cuya longitud es la curvatura del objeto. Multiplicar un vector normal por-1 da como resultado el vector opuesto , que puede usarse para indicar lados (por ejemplo, interior o exterior).

En el espacio tridimensional , una normal a una superficie , o simplemente normal , a una superficie en el punto P es un vector perpendicular al plano tangente de la superficie en P. La palabra normal también se utiliza como adjetivo: una línea normal a un plano , el componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad ( ángulos rectos ).

El concepto se ha generalizado a variedades diferenciables de dimensión arbitraria insertas en un espacio euclidiano . El espacio vectorial normal o espacio normal de una variedad en el punto es el conjunto de vectores que son ortogonales al espacio tangente en Los vectores normales son de especial interés en el caso de curvas y superficies suaves . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P.}$

La normal se utiliza a menudo en gráficos de computadora 3D (tenga en cuenta el singular, ya que solo se definirá una normal) para determinar la orientación de una superficie hacia una fuente de luz para sombreado plano , o la orientación de cada una de las esquinas de la superficie ( vértices ) para imitar una superficie curva con sombreado Phong .

El pie de una normal en un punto de interés Q (análogo al pie de una perpendicular ) se puede definir en el punto P de la superficie donde el vector normal contiene a Q . La distancia normal de un punto Q a una curva o a una superficie es la distancia euclidiana entre Q y su pie P .

Curvas normales al espacio

Dirección normal (en rojo) a una curva (en negro).

La dirección normal a una curva espacial es:

${\displaystyle \mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}}$

donde es el radio de curvatura ( curvatura recíproca ); es el vector tangente , en términos de la posición de la curva y la longitud del arco : ${\displaystyle R=\kappa ^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}$

Normal a planos y polígonos

Ecuación del plano en forma normal

Para un polígono convexo (como un triángulo ), la normal de la superficie se puede calcular como el producto vectorial de dos bordes (no paralelos) del polígono.

Para un plano dado por la forma general de la ecuación del plano, el vector es una normal. ${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

Para un plano cuya ecuación se da en forma paramétrica donde es un punto en el plano y son vectores no paralelos que apuntan a lo largo del plano, una normal al plano es un vector normal a ambos y que se puede encontrar como el producto vectorial $${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$

Normal a superficies generales en el espacio 3D

Una superficie curva que muestra los vectores unitarios normales (flechas azules) a la superficie

Si una superficie (posiblemente no plana) en el espacio 3D está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas con y variables reales , entonces una normal a S es por definición una normal a un plano tangente, dada por el producto vectorial de las derivadas parciales. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

Si una superficie se da implícitamente como el conjunto de puntos que satisfacen entonces una normal en un punto de la superficie está dada por el gradiente ya que el gradiente en cualquier punto es perpendicular al conjunto de niveles ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$ ${\displaystyle S.}$

Para una superficie en dada como la gráfica de una función, una normal que apunta hacia arriba se puede encontrar ya sea a partir de la parametrización que da o más simplemente a partir de su forma implícita que da Como una superficie no tiene un plano tangente en un punto singular , no tiene una normal bien definida en ese punto: por ejemplo, el vértice de un cono . En general, es posible definir una normal casi en todas partes para una superficie que es Lipschitz continua . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$ $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$ ${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$

Orientación

Un campo vectorial de normales a una superficie

La normal a una (hiper)superficie suele escalarse para tener una longitud unitaria , pero no tiene una dirección única, ya que su opuesto también es una normal unitaria. Para una superficie que es el límite topológico de un conjunto en tres dimensiones, se pueden distinguir entre dos orientaciones normales , la normal que apunta hacia adentro y la normal que apunta hacia afuera . Para una superficie orientada , la normal suele determinarse mediante la regla de la mano derecha o su análogo en dimensiones superiores.

Si la normal se construye como el producto vectorial de los vectores tangentes (como se describe en el texto anterior), es un pseudovector .

Transformando normales

Al aplicar una transformación a una superficie, a menudo es útil derivar normales para la superficie resultante a partir de las normales originales.

En concreto, dada una matriz de transformación 3×3 podemos determinar la matriz que transforma un vector perpendicular al plano tangente en un vector perpendicular al plano tangente transformado mediante la siguiente lógica: ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {Mt} ,}$

Escribe n′ como Debemos encontrar ${\displaystyle \mathbf {Wn} .}$ ${\displaystyle \mathbf {W} .}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}W\mathbb {n} {\text{ is perpendicular to }}M\mathbb {t} \quad \,&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\left(\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }\right)(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }\left(W^{\mathrm {T} }M\right)\mathbb {t} \\\end{alignedat}}}$$

Eligiendo de manera que o satisfaga la ecuación anterior, se obtiene una perpendicular a o una perpendicular a según se requiera. ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle W^{\mathrm {T} }M=I,}$ ${\displaystyle W=(M^{-1})^{\mathrm {T} },}$ ${\displaystyle W\mathbb {n} }$ ${\displaystyle M\mathbb {t} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{\prime },}$

Por lo tanto, se debe utilizar la transpuesta inversa de la transformación lineal al transformar las normales de superficie. La transpuesta inversa es igual a la matriz original si la matriz es ortonormal, es decir, puramente rotacional sin escalado ni cizallamiento.

Hipersuperficies ennorte-espacio dimensional

Para un hiperplano -dimensional en un espacio -dimensional dado por su representación paramétrica donde es un punto en el hiperplano y para son vectores linealmente independientes que apuntan a lo largo del hiperplano, una normal al hiperplano es cualquier vector en el espacio nulo de la matriz , es decir , cualquier vector ortogonal a todos los vectores en el plano es por definición una normal a la superficie. Alternativamente, si el hiperplano se define como el conjunto solución de una sola ecuación lineal , entonces el vector es una normal. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},}$$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle P\mathbf {n} =\mathbf {0} .}$ ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c,}$ ${\displaystyle \mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$

La definición de una normal a una superficie en el espacio tridimensional se puede extender a hipersuperficies tridimensionales en Una hipersuperficie se puede definir localmente de manera implícita como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación donde es una función escalar dada . Si es continuamente diferenciable , entonces la hipersuperficie es una variedad diferenciable en la vecindad de los puntos donde el gradiente no es cero. En estos puntos, un vector normal viene dado por el gradiente: ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$$

La línea normal es el subespacio unidimensional con base ${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

Variedades definidas por ecuaciones implícitas ennorte-espacio dimensional

Una variedad diferencial definida por ecuaciones implícitas en el espacio -dimensional es el conjunto de los ceros comunes de un conjunto finito de funciones diferenciables en variables La matriz jacobiana de la variedad es la matriz cuya fila -ésima es el gradiente de Por el teorema de la función implícita , la variedad es una variedad en la vecindad de un punto donde la matriz jacobiana tiene rango En tal punto el espacio vectorial normal es el espacio vectorial generado por los valores en de los vectores gradiente de la ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

En otras palabras, una variedad se define como la intersección de hipersuperficies, y el espacio vectorial normal en un punto es el espacio vectorial generado por los vectores normales de las hipersuperficies en el punto. ${\displaystyle k}$

El espacio normal (afín) en un punto de la variedad es el subespacio afín que pasa por y es generado por el espacio vectorial normal en ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P.}$

Estas definiciones pueden extenderse textualmente hasta los puntos donde la variedad no es múltiple.

Ejemplo

Sea V la variedad definida en el espacio tridimensional por las ecuaciones Esta variedad es la unión del eje y el eje . $${\displaystyle x\,y=0,\quad z=0.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

En un punto donde las filas de la matriz jacobiana son y Por lo tanto, el espacio afín normal es el plano de ecuación De manera similar, si el plano normal en es el plano de ecuación ${\displaystyle (a,0,0),}$ ${\displaystyle a\neq 0,}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,a,0).}$ ${\displaystyle x=a.}$ ${\displaystyle b\neq 0,}$ ${\displaystyle (0,b,0)}$ ${\displaystyle y=b.}$

En el punto las filas de la matriz jacobiana son y Por lo tanto, el espacio vectorial normal y el espacio afín normal tienen dimensión 1 y el espacio afín normal es el eje . ${\displaystyle (0,0,0)}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0).}$ ${\displaystyle z}$

Usos

• Las normales de superficie son útiles para definir integrales de superficie de campos vectoriales .
• Las normales de superficie se utilizan comúnmente en gráficos de computadora 3D para cálculos de iluminación (ver ley del coseno de Lambert ), a menudo ajustadas mediante el mapeo normal .
• Las capas de renderizado que contienen información normal de la superficie se pueden utilizar en la composición digital para cambiar la iluminación aparente de los elementos renderizados. ^{[ cita requerida ]}
• En visión por computadora , las formas de los objetos 3D se estiman a partir de las normales de la superficie utilizando estereometría fotométrica . ^[1]
• El vector normal puede obtenerse como el gradiente de la función de distancia con signo .

Normal en óptica geométrica

Diagrama de reflexión especular

ElEl rayo normal es el rayo que apunta hacia afueraperpendiculara la superficie de unmedio ópticoen un punto dado.^[2]Enla reflexión de la luz, elángulo de incidenciay elángulo de reflexiónson respectivamente el ángulo entre la normal y elrayo incidente(en elplano de incidencia) y el ángulo entre la normal y elrayo reflejado.

Véase también

• Espacio dual  – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.
• Vector normal elipsoide
• Fibrado normal  – fibrado vectorial, complementario del fibrado tangente, asociado a una incrustaciónPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Pseudovector  : Cantidad física que cambia de signo con una rotación incorrecta
• Componentes tangencial y normal
• Normal de vértice  : vector direccional asociado a un vértice, pensado como reemplazo de la normal geométrica real de la superficie.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Ying Wu. "Radiometría, BRDF y estereometría fotométrica" ​​(PDF) . Universidad Northwestern.
2. "La ley de la reflexión". Tutorial para el aula de física . Archivado desde el original el 27 de abril de 2009. Consultado el 31 de marzo de 2008 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Vector normal". MathWorld .
• Una explicación de los vectores normales del MSDN de Microsoft
• Pseudocódigo claro para calcular una normal de superficie a partir de un triángulo o polígono.