Variación de parámetros

Procedure for solving differential equations

En matemáticas , la variación de parámetros , también conocida como variación de constantes , es un método general para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas .

Para ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de primer orden, generalmente es posible encontrar soluciones mediante factores integrantes o coeficientes indeterminados con un esfuerzo considerablemente menor, aunque esos métodos aprovechan heurísticas que implican adivinar y no funcionan para todas las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

La variación de parámetros se extiende también a las ecuaciones diferenciales parciales lineales, específicamente a problemas no homogéneos para ecuaciones de evolución lineal como la ecuación del calor , la ecuación de onda y la ecuación de placa vibratoria . En este contexto, el método se conoce más a menudo como principio de Duhamel , en honor a Jean-Marie Duhamel (1797-1872), quien aplicó por primera vez el método para resolver la ecuación del calor no homogéneo. A veces, la propia variación de los parámetros se denomina principio de Duhamel y viceversa.

Historia

El método de variación de parámetros fue esbozado por primera vez por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) y posteriormente completado por el matemático ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). ^[1]

Un precursor del método de variación de los elementos orbitales de un cuerpo celeste apareció en el trabajo de Euler en 1748, mientras estudiaba las perturbaciones mutuas de Júpiter y Saturno. ^[2] En su estudio de 1749 sobre los movimientos de la Tierra, Euler obtuvo ecuaciones diferenciales para los elementos orbitales. ^[3] En 1753, aplicó el método a su estudio de los movimientos de la luna. ^[4]

Lagrange utilizó el método por primera vez en 1766. ^[5] Entre 1778 y 1783, desarrolló aún más el método en dos series de memorias: una sobre las variaciones en los movimientos de los planetas ^[6] y otra sobre la determinación de la órbita de un cometa a partir de tres observaciones. ^[7] Durante 1808-1810, Lagrange dio al método de variación de parámetros su forma final en una tercera serie de artículos. ^[8]

Descripción del método

Dada una ecuación diferencial lineal ordinaria no homogénea de orden n

Sea la base del espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea correspondiente. ${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$

Entonces una solución particular a la ecuación no homogénea viene dada por

donde son funciones diferenciables que se supone que satisfacen las condiciones ${\displaystyle c_{i}(x)}$

Comenzando con ( iii ), la diferenciación repetida combinada con el uso repetido de ( iv ) da

Una última diferenciación da

Sustituyendo ( iii ) en ( i ) y aplicando ( v ) y ( vi ) se deduce que

El sistema lineal ( iv y vii ) de n ecuaciones se puede resolver usando la regla de Cramer , lo que produce

${\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\,\quad i=1,\ldots ,n}$

donde es el determinante Wronskiano de la base y es el determinante Wronskiano de la base con la i -ésima columna reemplazada por ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$ ${\displaystyle W_{i}(x)}$ ${\displaystyle (0,0,\ldots ,b(x)).}$

La solución particular de la ecuación no homogénea se puede escribir como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\,\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}\,\mathrm {d} x.}$

Explicación intuitiva

Considere la ecuación del resorte forzado sin dispersión, en unidades adecuadas:

${\displaystyle x''(t)+x(t)=F(t).}$

Aquí x es el desplazamiento del resorte desde el equilibrio x = 0 , y F ( t ) es una fuerza externa aplicada que depende del tiempo. Cuando la fuerza externa es cero, esta es la ecuación homogénea (cuyas soluciones son combinaciones lineales de senos y cosenos, correspondientes al resorte que oscila con energía total constante).

Podemos construir la solución físicamente, de la siguiente manera. Entre los tiempos y , el impulso correspondiente a la solución tiene un cambio neto (ver: Impulso (física) ). Una solución a la ecuación no homogénea, en el momento actual t > 0 , se obtiene superponiendo linealmente las soluciones obtenidas de esta manera, para s que van entre 0 y t . ${\displaystyle t=s}$ ${\displaystyle t=s+ds}$ ${\displaystyle F(s)\,ds}$

El problema homogéneo de valor inicial, que representa un pequeño impulso que se agrega a la solución en el tiempo , es ${\displaystyle F(s)\,ds}$ ${\displaystyle t=s}$

${\displaystyle x''(t)+x(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.}$

Es fácil ver que la única solución a este problema es . La superposición lineal de todas estas soluciones viene dada por la integral: ${\displaystyle x(t)=F(s)\sin(t-s)\,ds}$

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds.}$

Para verificar que esto satisface la ecuación requerida:

${\displaystyle x'(t)=\int _{0}^{t}F(s)\cos(t-s)\,ds}$

${\displaystyle x''(t)=F(t)-\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds=F(t)-x(t),}$

según sea necesario (ver: regla integral de Leibniz ).

El método general de variación de parámetros permite resolver una ecuación lineal no homogénea.

${\displaystyle Lx(t)=F(t)}$

mediante la consideración del operador diferencial lineal de segundo orden L como la fuerza neta, por lo tanto el impulso total impartido a una solución entre el tiempo s y s + ds es F ( s ) ds . Denota por la solución del problema de valor inicial homogéneo. ${\displaystyle x_{s}}$

${\displaystyle Lx(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.}$

Entonces una solución particular de la ecuación no homogénea es

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}x_{s}(t)\,ds,}$

el resultado de superponer linealmente las soluciones homogéneas infinitesimales. Existen generalizaciones para operadores diferenciales lineales de orden superior.

En la práctica, la variación de parámetros generalmente implica la solución fundamental del problema homogéneo, dándose las soluciones infinitesimales en términos de combinaciones lineales explícitas de soluciones fundamentales linealmente independientes. En el caso del resorte forzado sin dispersión, el núcleo es la descomposición asociada en soluciones fundamentales. ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle \sin(t-s)=\sin t\cos s-\sin s\cos t}$

Ejemplos

Ecuación de primer orden

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

La solución complementaria a nuestra ecuación original (no homogénea) es la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (escrita a continuación):

${\displaystyle y'+p(x)y=0}$

Esta ecuación diferencial homogénea se puede resolver mediante diferentes métodos, por ejemplo separación de variables :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-p(x)y}$

${\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)\,dx},}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx}$

${\displaystyle \ln |y|=-\int p(x)\,dx+C}$

${\displaystyle y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

Por tanto, la solución complementaria de nuestra ecuación original es:

${\displaystyle y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

Ahora volvemos a resolver la ecuación no homogénea:

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

Usando el método de variación de parámetros, la solución particular se forma multiplicando la solución complementaria por una función desconocida C ( x ):

${\displaystyle y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}$

Sustituyendo la solución particular en la ecuación no homogénea, podemos encontrar C ( x ):

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}}$

Sólo necesitamos una única solución particular, por lo que seleccionamos arbitrariamente por simplicidad. Por tanto la solución particular es: ${\displaystyle C_{1}=0}$

${\displaystyle y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}$

La solución final de la ecuación diferencial es:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\end{aligned}}}$

Esto recrea el método de integración de factores .

Ecuación específica de segundo orden

Resolvamos

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh x}$

Queremos encontrar la solución general de la ecuación diferencial, es decir, queremos encontrar soluciones de la ecuación diferencial homogénea.

${\displaystyle y''+4y'+4y=0.}$

La ecuación característica es:

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0}$

Como es una raíz repetida, tenemos que introducir un factor de x para una solución para asegurar la independencia lineal: y . El wronskiano de estas dos funciones es ${\displaystyle \lambda =-2}$ ${\displaystyle u_{1}=e^{-2x}}$ ${\displaystyle u_{2}=xe^{-2x}}$

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.}$

Debido a que el Wronskiano es distinto de cero, las dos funciones son linealmente independientes, por lo que esta es, de hecho, la solución general para la ecuación diferencial homogénea (y no un mero subconjunto de ella).

Buscamos las funciones A ( x ) y B ( x ) entonces A ( x ) u ₁  +  B ( x ) u ₂ es una solución particular de la ecuación no homogénea. Sólo necesitamos calcular las integrales.

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x}$

Recuerde que para este ejemplo

${\displaystyle b(x)=\cosh x}$

Eso es,

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_{1}}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}\left(3+e^{2x}\right)+C_{2}}$

donde y son constantes de integración. ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Ecuación general de segundo orden

Tenemos una ecuación diferencial de la forma

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)}$

y definimos el operador lineal

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}$

donde D representa el operador diferencial . Por lo tanto tenemos que resolver la ecuación para , donde y son conocidos. ${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)}$

Primero debemos resolver la ecuación homogénea correspondiente:

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0}$

mediante la técnica de nuestra elección. Una vez que hayamos obtenido dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación diferencial homogénea (porque esta EDO es de segundo orden), llámelas u ₁ y u ₂ , podemos proceder con la variación de parámetros.

Ahora buscamos la solución general de la ecuación diferencial que suponemos de la forma ${\displaystyle u_{G}(x)}$

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).}$

Aquí, y son desconocidos y y son las soluciones de la ecuación homogénea. (Observe que si y son constantes, entonces .) Dado que lo anterior es sólo una ecuación y tenemos dos funciones desconocidas, es razonable imponer una segunda condición. Elegimos lo siguiente: ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle u_{1}(x)}$ ${\displaystyle u_{2}(x)}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

Ahora,

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{G}'(x)&=\left(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=\left(A(x)u_{1}(x)\right)'+\left(B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}}$

Diferenciar de nuevo (omitiendo pasos intermedios)

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Ahora podemos escribir la acción de L sobre u _G como

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Como u ₁ y u ₂ son soluciones, entonces

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Tenemos el sistema de ecuaciones.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

En expansión,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

Entonces el sistema anterior determina precisamente las condiciones

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.}$

Buscamos A ( x ) y B ( x ) a partir de estas condiciones, por lo que, dado

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}}$

podemos resolver para ( A ′( x ), B ′( x )) ^T , entonces

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{bmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}},}$

donde W denota el Wronskiano de u ₁ y u ₂ . (Sabemos que W es distinto de cero, a partir del supuesto de que u ₁ y u ₂ son linealmente independientes). Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),&B'(x)&={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,&B(x)&=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Si bien las ecuaciones homogéneas son relativamente fáciles de resolver, este método permite calcular los coeficientes de la solución general de la ecuación homogénea y, por lo tanto, se puede determinar la solución general completa de la ecuación no homogénea.

Tenga en cuenta que y cada uno se determina solo hasta una constante aditiva arbitraria (la constante de integración ). Agregar una constante a o no cambia el valor de porque el término adicional es solo una combinación lineal de u ₁ y u ₂ , que es una solución de por definición. ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle Lu_{G}(x)}$ ${\displaystyle L}$

Ver también

• Fórmula de Alekseev-Gröbner , una generalización de la fórmula de variación de constantes.
• Reducción de pedido

Notas

1. Ver:
   • Forest Ray Moulton , Introducción a la mecánica celeste , 2ª ed. (publicado por primera vez por Macmillan Company en 1914; reimpreso en 1970 por Dover Publications, Inc., Mineola, Nueva York), página 431.
   • Edgar Odell Lovett (1899) "La teoría de las perturbaciones y la teoría de Lie sobre las transformaciones de contacto", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 30, páginas 47–149; véanse especialmente las páginas 48 a 61.
2. Euler, L. (1748) "Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748, par l'Académie Royale des Sciences de Paris" [Investigaciones sobre la cuestión de las diferencias en el movimiento de Saturno y Júpiter; este tema propuesto para el premio de 1748 por la Real Academia de Ciencias (París)] (París, Francia: G. Martin, JB Coignard y HL Guérin, 1749).
3. Euler, L. (1749) "Recherches sur la précession des équinoxes, et sur la nutation de l'axe de la terre", Histoire [o Mémoires ] de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 289–325 [publicado en 1751].
4. Euler, L. (1753) Theoria motus lunae: exhibens omnes ejus inaequalitates... [La teoría del movimiento de la luna: demostrando todas sus desigualdades...] (San Petersburgo, Rusia: Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae [Imperial Academia de Ciencias (San Petersburgo)], 1753).
5. Lagrange, J.-L. (1766) “Solution de différens problèmes du calcul integral”, Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société royale de Turin , vol. 3, páginas 179–380.
6. Ver:
   • Lagrange, J.-L. (1781) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Premiere partie, ..." Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 199–276.
   • Lagrange, J.-L. (1782) "Théorie des variations séculaires des élémens des Planetes. Seconde partie, ..." Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 169–292.
   • Lagrange, J.-L. (1783) "Théorie des variations périodiques des mouvemens des Planetes. Premiere partie, ..." Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 161-190.
7. Ver:
   • Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observaciones, premier mémoire" (Sobre el problema de determinar las órbitas de los cometas a partir de tres observaciones, primera memoria), Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 111-123 [publicado en 1780].
   • Lagrange, J.-L. (1778) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observaciones, segunda memoria", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 124-161 [publicado en 1780] .
   • Lagrange, J.-L. (1783) "Sur le probleme de la détermination des orbites des cometes d'après trois observaciones. Troisième mémoire, dans lequel on donne une solution directe et générale du problème.", Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (Berlín), páginas 296–332 [publicado en 1785].
8. Ver:
   • Lagrange, J.-L. (1808) “Sobre la teoría de las variaciones de los elementos de los planetas y en particular de las variaciones de los grandes ejes de las órbitas”, Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Reimpreso en: Joseph-Louis Lagrange con Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (París, Francia: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, páginas 713–768.
   • Lagrange, J.-L. (1809) “Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique”, Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Reimpreso en: Joseph-Louis Lagrange con Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (París, Francia: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, páginas 771–805.
   • Lagrange, J.-L. (1810) “Second mémoire sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de la méchanique, ...,” Mémoires de la première Classe de l'Institut de France . Reimpreso en: Joseph-Louis Lagrange con Joseph-Alfred Serret, ed., Oeuvres de Lagrange (París, Francia: Gauthier-Villars, 1873), vol. 6, páginas 809–816.

Referencias

• Coddington, conde A.; Levinson, normando (1955). Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . McGraw-Hill .
• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2005). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (8ª ed.). Wiley. págs. 186–192, 237–241.
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Sociedad Matemática Estadounidense .

Enlaces externos

• Notas en línea / Prueba de Paul Dawkins, Universidad Lamar .
• Página de PlanetMath.
• UNA NOTA SOBRE EL MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS DE LAGRANGE