Método de coeficientes indeterminados

Enfoque para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas

En matemáticas , el método de coeficientes indeterminados es un método para hallar una solución particular a ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas y relaciones de recurrencia . Está estrechamente relacionado con el método del aniquilador , pero en lugar de utilizar un tipo particular de operador diferencial (el aniquilador) para hallar la mejor forma posible de la solución particular, se hace un ansatz o "suposición" sobre la forma apropiada, que luego se prueba derivando la ecuación resultante. Para ecuaciones complejas, el método del aniquilador o variación de parámetros requiere menos tiempo de ejecución.

Los coeficientes indeterminados no son un método tan general como la variación de parámetros , ya que sólo funciona para ecuaciones diferenciales que siguen ciertas formas. ^[1]

Descripción del método

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de la forma

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)}$

donde denota la derivada i-ésima de , y denota una función de . ${\displaystyle y^{(i)}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle x}$

El método de coeficientes indeterminados proporciona un método sencillo para obtener la solución de esta EDO cuando se cumplen dos criterios: ^[2]

1. ${\displaystyle c_{i}}$son constantes
2. g ( x ) es una constante, una función polinómica, una función exponencial , funciones seno o coseno o , o sumas finitas y productos de estas funciones ( , constantes). ${\displaystyle e^{\alpha x}}$ ${\displaystyle \sin {\beta x}}$ ${\displaystyle \cos {\beta x}}$ ${\displaystyle {\alpha }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

El método consiste en encontrar la solución homogénea general para la ecuación diferencial homogénea lineal complementaria. ${\displaystyle y_{c}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,}$

y una integral particular de la ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea basada en . Entonces la solución general de la ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea sería ${\displaystyle y_{p}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}$^[3]

Si consiste en la suma de dos funciones y decimos que es la solución basada en y la solución basada en . Entonces, utilizando un principio de superposición , podemos decir que la integral particular es ^[3] ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle h(x)+w(x)}$ ${\displaystyle y_{p_{1}}}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle y_{p_{2}}}$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle y_{p}}$

${\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.}$

Formas típicas de la integral particular

Para hallar la integral particular, necesitamos "adivinar" su forma, dejando algunos coeficientes como variables para resolver. Esto toma la forma de la primera derivada de la función complementaria. A continuación se muestra una tabla de algunas funciones típicas y la solución para adivinarlas.

Si un término de la integral particular anterior para y aparece en la solución homogénea, es necesario multiplicar por una potencia de x suficientemente grande para que la solución sea independiente. Si la función de x es una suma de términos en la tabla anterior, la integral particular se puede adivinar utilizando una suma de los términos correspondientes para y . ^[1]

Ejemplos

Ejemplo 1

Encuentra una integral particular de la ecuación

${\displaystyle y''+y=t\cos t.}$

El lado derecho t  cos  t tiene la forma

${\displaystyle P_{n}e^{\alpha t}\cos {\beta t}}$

con n = 2, α = 0 y β = 1.

Dado que α + iβ = i es una raíz simple de la ecuación característica

${\displaystyle \lambda ^{2}+1=0}$

Deberíamos probar una integral particular de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{p}&=t\left[F_{1}(t)e^{\alpha t}\cos {\beta t}+G_{1}(t)e^{\alpha t}\sin {\beta t}\right]\\&=t\left[F_{1}(t)\cos t+G_{1}(t)\sin t\right]\\&=t\left[\left(A_{0}t+A_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t+B_{1}\right)\sin t\right]\\&=\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t.\end{aligned}}}$

Sustituyendo y _p en la ecuación diferencial, tenemos la identidad

${\displaystyle {\begin{aligned}t\cos t&=y_{p}''+y_{p}\\&=\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]''+\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]\\&=\left[2A_{0}\cos t+2\left(2A_{0}t+A_{1}\right)(-\sin t)+\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)(-\cos t)+2B_{0}\sin t+2\left(2B_{0}t+B_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)(-\sin t)\right]\\&\qquad +\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]\\&=[4B_{0}t+(2A_{0}+2B_{1})]\cos t+[-4A_{0}t+(-2A_{1}+2B_{0})]\sin t.\end{aligned}}}$

Comparando ambos lados, tenemos

${\displaystyle {\begin{cases}1=4B_{0}\\0=2A_{0}+2B_{1}\\0=-4A_{0}\\0=-2A_{1}+2B_{0}\end{cases}}}$

cual tiene la solucion

${\displaystyle A_{0}=0,\quad A_{1}=B_{0}={\frac {1}{4}},\quad B_{1}=0.}$

Entonces tenemos una integral particular

${\displaystyle y_{p}={\frac {1}{4}}t\cos t+{\frac {1}{4}}t^{2}\sin t.}$

Ejemplo 2

Considere la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y+e^{x}.}$

Esto es como el primer ejemplo anterior, excepto que la parte no homogénea ( ) no es linealmente independiente de la solución general de la parte homogénea ( ); como resultado, tenemos que multiplicar nuestra suposición por una potencia de x suficientemente grande para hacerla linealmente independiente. ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle c_{1}e^{x}}$

Aquí nuestra conjetura se convierte en:

${\displaystyle y_{p}=Axe^{x}.}$

Sustituyendo esta función y su derivada en la ecuación diferencial, se puede resolver A :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(Axe^{x}\right)=Axe^{x}+e^{x}}$

${\displaystyle Axe^{x}+Ae^{x}=Axe^{x}+e^{x}}$

${\displaystyle A=1.}$

Entonces, la solución general de esta ecuación diferencial es:

${\displaystyle y=c_{1}e^{x}+xe^{x}.}$

Ejemplo 3

Encuentra la solución general de la ecuación:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=t^{2}-y}$

${\displaystyle t^{2}}$es un polinomio de grado 2, por lo que buscamos una solución utilizando la misma forma,

${\displaystyle y_{p}=At^{2}+Bt+C,}$

Al introducir esta función particular en la ecuación original se obtiene:

${\displaystyle 2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C),}$

${\displaystyle 2At+B=(1-A)t^{2}-Bt-C,}$

${\displaystyle (A-1)t^{2}+(2A+B)t+(B+C)=0.}$

Lo cual da:

${\displaystyle A-1=0,\quad 2A+B=0,\quad B+C=0.}$

Resolviendo las constantes obtenemos:

${\displaystyle y_{p}=t^{2}-2t+2}$

Para resolver la solución general,

${\displaystyle y=y_{p}+y_{c}}$

donde es la solución homogénea , por lo tanto la solución general es: ${\displaystyle y_{c}}$ ${\displaystyle y_{c}=c_{1}e^{-t}}$

${\displaystyle y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}}$

Referencias

1. Ralph P. Grimaldi (2000). "Relaciones de recurrencia no homogéneas". Sección 3.3.3 del Manual de matemáticas discretas y combinatorias . Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. ISBN  0-8493-0149-1 .
2. Zill, Dennis G., Warren S. Wright (2014). Matemáticas avanzadas para ingeniería . Jones y Bartlett. pág. 125. ISBN 978-1-4496-7977-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Dennis G. Zill (14 de mayo de 2008). Un primer curso sobre ecuaciones diferenciales. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

• Boyce, WE; DiPrima, RC (1986). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (4.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83824-1.
• Riley, KF; Bence, SJ (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1985). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Dover. ISBN 978-0-486-64940-5.
• de Oliveira, ORB (2013). "Una fórmula que sustituye los coeficientes indeterminados y los métodos del aniquilador". Int. J. Math. Educ. Sci. Technol . 44 (3): 462–468. arXiv : 1110.4425 . Bibcode :2013IJMES..44..462R. doi :10.1080/0020739X.2012.714496. S2CID  55834468.