Fórmula de Alekseev-Gröbner

Fórmula para expresar el error global de una perturbación

La fórmula de Alekseev-Gröbner, o fórmula de variación no lineal de constantes, es una generalización de la fórmula de variación lineal de constantes que fue demostrada independientemente por Wolfgang Gröbner en 1960 ^[1] y Vladimir Mikhailovich Alekseev en 1961. ^[2] Expresa el error global de una perturbación en términos del error local y tiene muchas aplicaciones para estudiar perturbaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias . ^[3]

Formulación

Sea un número natural, sea un número real positivo y sea una función que es continua en el intervalo de tiempo y continuamente diferenciable en el espacio de dimensión . Sea , una solución continua de la ecuación integral Además, sea continuamente diferenciable. Vemos como la función no perturbada y como la función perturbada. Entonces se cumple que La fórmula de Alekseev–Gröbner permite expresar el error global en términos del error local . ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle T\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu \colon [0,T]\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}\in C^{0,1}([0,T]\times \mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle X\colon [0,T]^{2}\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle (s,t,x)\mapsto X_{s,t}^{x}}$ $${\displaystyle X_{s,t}^{x}=x+\int _{s}^{t}\mu (r,X_{s,r}^{x})dr.}$$ ${\displaystyle Y\in C^{1}([0,T],\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X_{0,T}^{Y_{0}}-Y_{T}=\int _{0}^{T}\left({\frac {\partial }{\partial x}}X_{r,T}^{Y_{s}}\right)\left(\mu (r,Y_{r})-{\frac {d}{dr}}Y_{r}\right)dr.}$$ ${\displaystyle X_{0,T}^{Y_{0}}-Y_{T}}$ ${\displaystyle (\mu (r,Y_{r})-{\tfrac {d}{dr}}Y_{r})}$

La fórmula Itô-Alekseev-Gröbner

La fórmula de Itô–Alekseev–Gröbner ^[4] es una generalización de la fórmula de Alekseev–Gröbner que establece en el caso determinista que para una función continuamente diferenciable se cumple que ${\displaystyle f\in C^{1}(\mathbb {R} ^{k},\mathbb {R} ^{d})}$ $${\displaystyle f(X_{0,T}^{Y_{0}})-f(Y_{T})=\int _{0}^{T}f'\left({\frac {\partial }{\partial x}}X_{r,T}^{Y_{s}}\right){\frac {\partial }{\partial x}}X_{s,T}^{Y_{s}}\left(\mu (r,Y_{r})-{\frac {d}{dr}}Y_{r}\right)dr.}$$

Referencias

1. Gröbner, Wolfgang (1960). Die Lie-Reihen und Ihre Anwendungen . Berlín: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften.
2. Alekseev, V. "Estimación de las perturbaciones de la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (en ruso)". Vestn. Mosk. Univ., Ser. I, Math. Meh . 2, 1961.
3. Iserles, A. (2009). Un primer curso sobre el análisis numérico de ecuaciones diferenciales (segunda edición). Cambridge: Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press.
4. Hudde, A.; Hutzenthaler, M.; Jentzen, A.; Mazzonetto, S. (2018). "Sobre la fórmula de Itô-Alekseev-Gröbner para ecuaciones diferenciales estocásticas". arXiv : 1812.09857 [matemáticas.PR].