Fórmula para expresar el error global de una perturbación
La fórmula de Alekseev-Gröbner, o fórmula de variación no lineal de constantes, es una generalización de la fórmula de variación lineal de constantes que fue demostrada independientemente por Wolfgang Gröbner en 1960 [1] y Vladimir Mikhailovich Alekseev en 1961. [2] Expresa el error global de una perturbación en términos del error local y tiene muchas aplicaciones para estudiar perturbaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias . [3]
Formulación
Sea un número natural, sea un número real positivo y sea una función que es continua en el intervalo de tiempo y continuamente diferenciable en el espacio de dimensión . Sea , una solución continua de la ecuación integral
Además, sea continuamente diferenciable. Vemos como la función no perturbada y como la función perturbada. Entonces se cumple que
La fórmula de Alekseev–Gröbner permite expresar el error global en términos del error local .
La fórmula Itô-Alekseev-Gröbner
La fórmula de Itô–Alekseev–Gröbner [4] es una generalización de la fórmula de Alekseev–Gröbner que establece en el caso determinista que para una función continuamente diferenciable se cumple que
Referencias
- ^ Gröbner, Wolfgang (1960). Die Lie-Reihen und Ihre Anwendungen . Berlín: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften.
- ^ Alekseev, V. "Estimación de las perturbaciones de la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (en ruso)". Vestn. Mosk. Univ., Ser. I, Math. Meh . 2, 1961.
- ^ Iserles, A. (2009). Un primer curso sobre el análisis numérico de ecuaciones diferenciales (segunda edición). Cambridge: Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press.
- ^ Hudde, A.; Hutzenthaler, M.; Jentzen, A.; Mazzonetto, S. (2018). "Sobre la fórmula de Itô-Alekseev-Gröbner para ecuaciones diferenciales estocásticas". arXiv : 1812.09857 [matemáticas.PR].