Una esfera o bola con radio unitario y centro en el origen del espacio se llama esfera unitaria o bola unitaria . Cualquier esfera arbitraria puede transformarse en esfera unitaria mediante una combinación de traslación y escala , por lo que el estudio de las esferas en general a menudo puede reducirse al estudio de la esfera unitaria.
En contextos más generales, una esfera unitaria es el conjunto de puntos de distancia 1 desde un punto central fijo, donde se pueden usar diferentes normas como nociones generales de "distancia", y una bola unitaria (abierta) es la región interior.
Unidades de esferas y bolas en el espacio euclidiano.
En el espacio euclidiano de dimensiones, la esfera unitaria -dimensional es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación
La unidad abierta -bola es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad
y bola unitaria cerrada es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad
Volumen y área
La ecuación clásica de una esfera unitaria es la del elipsoide con un radio de 1 y sin alteraciones en los ejes -, - o -:
El volumen de la bola unitaria en el espacio euclidiano y el área de superficie de la esfera unitaria aparecen en muchas fórmulas de análisis importantes . El volumen de la bola unitaria, que denotamos, se puede expresar haciendo uso de la función gamma . Es
El hipervolumen de la esfera unitaria de dimensiones ( es decir , el "área" del límite de la bola unitaria de dimensiones), que denotamos, se puede expresar como
Por ejemplo, es el "área" del límite de la bola unitaria , que simplemente cuenta los dos puntos. Entonces es el "área" del límite del disco unitario, que es la circunferencia del círculo unitario. es el área del límite de la bola unitaria , que es el área de la superficie de la esfera unitaria .
Las áreas de superficie y los volúmenes para algunos valores de son los siguientes:
donde los valores decimales expandidos se redondean a la precisión mostrada.
recursividad
Los valores satisfacen la recursividad:
para .
Los valores satisfacen la recursividad:
para .
Dimensiones de valor real no negativos
El valor en valores reales no negativos de se utiliza a veces para la normalización de la medida de Hausdorff. [1] [2]
Otros radios
El área de superficie de una esfera con radio es y el volumen de una bola con radio es. Por ejemplo, el área es para la superficie bidimensional de la bola tridimensional de radio El volumen es para la bola tridimensional de radio .
Este último es la unión disjunta de los primeros y su frontera común, la esfera unitaria de
La "forma" de la bola unitaria depende totalmente de la norma elegida; bien puede tener "esquinas" y, por ejemplo, puede verse así en el caso de la norma máxima en . Se obtiene una bola naturalmente redonda como bola unitaria perteneciente a la norma espacial habitual de Hilbert , basada en el caso de dimensión finita en la distancia euclidiana ; su límite es lo que normalmente se entiende por esfera unitaria .
Definamos la norma habitual para como:
Entonces es la norma habitual del espacio de Hilbert . se llama norma de Hamming o norma. La condición es necesaria en la definición de la norma, ya que la bola unitaria en cualquier espacio normado debe ser convexa como consecuencia de la desigualdad del triángulo . Denotemos la norma máxima o la norma de .
Tenga en cuenta que para las circunferencias unidimensionales de las bolas unitarias bidimensionales, tenemos:
es el valor mínimo.
es el valor máximo.
Generalizaciones
Espacios métricos
Las tres definiciones anteriores se pueden generalizar directamente a un espacio métrico , con respecto a un origen elegido. Sin embargo, las consideraciones topológicas (interior, cierre, frontera) no tienen por qué aplicarse de la misma manera (por ejemplo, en espacios ultramétricos , los tres son simultáneamente conjuntos abiertos y cerrados), y la esfera unitaria puede incluso estar vacía en algunos espacios métricos.
formas cuadráticas
Si es un espacio lineal con una forma cuadrática real , entonces puede llamarse esfera unitaria [3] [4] o cuasiesfera unitaria de. Por ejemplo, la forma cuadrática , cuando se iguala a uno, produce la hipérbola unitaria , que desempeña el papel de Papel del "círculo unitario" en el plano de números complejos divididos . De manera similar, la forma cuadrática produce un par de líneas para la esfera unitaria en el plano numérico dual .
^ Universidad China de Hong Kong, Matemáticas 5011, Capítulo 3, Medidas de Lebesgue y Hausdorff
^ Manin, Yuri I. (2006). «La noción de dimensión en geometría y álgebra» (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 43 (2): 139–161. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01081-0 . Consultado el 17 de diciembre de 2021 .
^ Takashi Ono (1994) Variaciones sobre un tema de Euler: formas cuadráticas, curvas elípticas y mapas de Hopf , capítulo 5: Mapas esféricos cuadráticos, página 165, Plenum Press , ISBN 0-306-44789-4
Mahlon M. Day (1958) Espacios lineales normados , página 24, Springer-Verlag .
Deza, E .; Deza, M. (2006), Diccionario de distancias , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Revisado en Newsletter of the European Mathematical Society 64 (junio de 2007), p. 57. Este libro está organizado como una lista de distancias de muchos tipos, cada una con una breve descripción.
enlaces externos
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