Grupo circular

Grupo de Lie de números complejos de módulo unitario; topológicamente un círculo

La multiplicación en el grupo del círculo es equivalente a la suma de ángulos.

En matemáticas , el grupo circular , denotado por o ⁠ ⁠ , es el grupo multiplicativo de todos los números complejos con valor absoluto 1, es decir, el círculo unitario en el plano complejo o simplemente los números complejos unitarios ^[1] ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ $${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$$

El grupo del círculo forma un subgrupo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ , el grupo multiplicativo de todos los números complejos distintos de cero. Como es abeliano , se deduce que también lo es. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Un número complejo unitario en el grupo del círculo representa una rotación del plano complejo alrededor del origen y puede parametrizarse mediante la medida del ángulo : ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Este es el mapa exponencial para el grupo circular.

El grupo circular juega un papel central en la dualidad de Pontryagin y en la teoría de los grupos de Lie .

La notación para el grupo circular se deriva del hecho de que, con la topología estándar (ver más abajo), el grupo circular es un 1- toro . De manera más general, (el producto directo de consigo mismo por) es geométricamente un -toro. ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

El grupo circular es isomorfo al grupo ortogonal especial ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ .

Introducción elemental

Una forma de pensar en el grupo del círculo es que describe cómo sumar ángulos , donde solo se permiten ángulos entre 0° y 360° o o . Por ejemplo, el diagrama ilustra cómo sumar 150° a 270°. La respuesta es 150° + 270° = 420° , pero al pensar en términos del grupo del círculo, podemos "olvidar" el hecho de que hemos dado una vuelta alrededor del círculo. Por lo tanto, ajustamos nuestra respuesta en 360°, lo que da 420° ≡ 60° ( mod 360° ). ${\displaystyle \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \in (-\pi ,+\pi ]}$

Otra descripción es en términos de adición ordinaria (real), donde solo se permiten números entre 0 y 1 (donde 1 corresponde a una rotación completa: 360° o ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\pi }$ ), es decir, los números reales módulo los enteros: ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ . Esto se puede lograr descartando los dígitos que aparecen antes del punto decimal. Por ejemplo, cuando calculamos 0,4166... ​​+ 0,75, la respuesta es 1,1666..., pero podemos descartar el 1 inicial, por lo que la respuesta (en el grupo del círculo) es simplemente     con cierta preferencia 0,166..., porque ⁠ ⁠ . ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\equiv 1.1{\bar {6}}\equiv -0.8{\bar {3}}\;({\text{mod}}\,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\in [0,1)}$

Estructura topológica y analítica

El grupo del círculo es más que un objeto algebraico abstracto. Tiene una topología natural cuando se lo considera un subespacio del plano complejo. Dado que la multiplicación y la inversión son funciones continuas en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ , el grupo del círculo tiene la estructura de un grupo topológico . Además, dado que el círculo unitario es un subconjunto cerrado del plano complejo, el grupo del círculo es un subgrupo cerrado de (considerado en sí mismo como un grupo topológico). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$

Se puede decir aún más. El círculo es una variedad real unidimensional , y la multiplicación y la inversión son aplicaciones real-analíticas en el círculo. Esto le da al grupo del círculo la estructura de un grupo de un parámetro , una instancia de un grupo de Lie . De hecho, hasta el isomorfismo, es el único grupo de Lie compacto y conexo unidimensional . Además, cada grupo de Lie compacto, conexo y abeliano -dimensional es isomorfo a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

Isomorfismos

El grupo circular aparece en diversas formas en matemáticas. Aquí enumeramos algunas de las formas más comunes. En concreto, mostramos que $${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2).}$$

Nótese que la barra (/) denota aquí el grupo cociente .

El conjunto de todas las matrices unitarias 1×1 coincide claramente con el grupo del círculo; la condición unitaria es equivalente a la condición de que su elemento tenga valor absoluto 1. Por lo tanto, el grupo del círculo es canónicamente isomorfo a ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ , el primer grupo unitario .

La función exponencial da lugar a un homomorfismo de grupo desde los números reales aditivos hasta el grupo del círculo a través de la función ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ $${\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

La última igualdad es la fórmula de Euler o exponencial compleja. El número real θ corresponde al ángulo (en radianes ) en el círculo unitario medido en sentido antihorario desde el eje x positivo  . Que esta función es un homomorfismo se deduce del hecho de que la multiplicación de números complejos unitarios corresponde a la suma de ángulos: $${\displaystyle e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.}$$

Esta función exponencial es claramente una función sobreyectiva de a ⁠ ⁠ . Sin embargo, no es inyectiva . El núcleo de esta función es el conjunto de todos los múltiplos enteros de ⁠ ⁠ . Por el primer teorema de isomorfismo tenemos que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$$

Después de reescalar también podemos decir que es isomorfo a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

Si los números complejos se expresan como matrices reales de 2×2 (ver número complejo ), los números complejos unitarios corresponden a matrices ortogonales de 2×2 con determinante unitario . En concreto, tenemos $${\displaystyle e^{i\theta }\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta }\right).}$$

Esta función muestra que el grupo circular es isomorfo al grupo ortogonal especial ya que donde es la multiplicación de matrices. ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ $${\displaystyle f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right),}$$ ${\displaystyle \times }$

Este isomorfismo tiene la interpretación geométrica de que la multiplicación por un número complejo unitario es una rotación propia en el plano complejo (y real), y cada rotación de este tipo es de esta forma.

Propiedades

Todo grupo de Lie compacto de dimensión > 0 tiene un subgrupo isomorfo al grupo circular. Esto significa que, pensando en términos de simetría , se puede esperar que un grupo de simetría compacto que actúe de forma continua tenga subgrupos circulares de un parámetro actuando; las consecuencias en los sistemas físicos se ven, por ejemplo, en la invariancia rotacional y la ruptura espontánea de la simetría . ${\displaystyle \mathrm {G} }$

El grupo del círculo tiene muchos subgrupos , pero sus únicos subgrupos cerrados propios consisten en raíces de la unidad : para cada entero ⁠ ⁠ ${\displaystyle n>0}$ , las raíces -ésimas de la unidad forman un grupo cíclico de orden  ⁠ ⁠ , que es único hasta el isomorfismo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

De la misma manera que los números reales son una completitud de los racionales b -ádicos para todo número natural ⁠ ⁠ , el grupo del círculo es la completitud del grupo de Prüfer para ⁠ ⁠ , dado por el límite directo ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varinjlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

Representaciones

Las representaciones del grupo de círculos son fáciles de describir. Del lema de Schur se deduce que las representaciones complejas irreducibles de un grupo abeliano son todas unidimensionales. Como el grupo de círculos es compacto, cualquier representación debe tomar valores en ⁠ ⁠ . Por lo tanto, las representaciones irreducibles del grupo de círculos son simplemente los homomorfismos del grupo de círculos a sí mismo. $${\displaystyle \rho :\mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }}$$ ${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T} }$

Para cada número entero podemos definir una representación del grupo de círculos mediante ⁠ ⁠ . Estas representaciones son todas inequivalentes. La representación es conjugada a ⁠ ⁠ : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle \phi _{-n}}$ ${\displaystyle \phi _{n}}$ $${\displaystyle \phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.}$$

Estas representaciones son sólo los caracteres del grupo circular. El grupo de caracteres de es claramente un grupo cíclico infinito generado por ⁠ ⁠ : ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .}$$

Las representaciones reales irreducibles del grupo de círculos son la representación trivial (que es unidimensional) y las representaciones que toman valores en ⁠ ⁠ . Aquí solo tenemos números enteros positivos ⁠ ⁠ , ya que la representación es equivalente a ⁠ ⁠ . $${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},}$$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho _{-n}}$ ${\displaystyle \rho _{n}}$

Estructura del grupo

El grupo del círculo es un grupo divisible . Su subgrupo de torsión está dado por el conjunto de todas las raíces -ésimas de la unidad para todos y es isomorfo a ⁠ ⁠ . El teorema de estructura para grupos divisibles y el axioma de elección juntos nos dicen que es isomorfo a la suma directa de con un número de copias de ⁠ ⁠ . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El número de copias de debe ser (la cardinalidad del continuo ) para que la cardinalidad de la suma directa sea correcta. Pero la suma directa de copias de es isomorfa a ⁠ ⁠ , como lo es un espacio vectorial de dimensión sobre ⁠ ⁠ . Por lo tanto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$$

El isomorfismo se puede demostrar de la misma manera, ya que también es un grupo abeliano divisible cuyo subgrupo de torsión es el mismo que el subgrupo de torsión de ⁠ ⁠ . $${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Grupo de puntos racionales en el círculo unitario
• Subgrupo de un parámetro
• n -esfera
• Grupo ortogonal
• Factor de fase (aplicación en mecánica cuántica)
• Número de rotación
• Solenoide

Notas

1. James, Robert C. ; James, Glenn (1992). Diccionario de matemáticas (quinta edición). Chapman & Hall. pág. 436. ISBN 9780412990410Un número complejo unitario es un número complejo de valor absoluto unitario . .
2. Fuchs, László (2015). "Ejemplo 3.5". Grupos abelianos . Springer Monographs in Mathematics. Springer, Cham. pág. 141. doi :10.1007/978-3-319-19422-6. ISBN 978-3-319-19421-9.Señor 3467030  .

Referencias

• James, Robert C.; James, Glenn (1992). Diccionario de matemáticas (quinta edición). Chapman & Hall. ISBN 9780412990410.

Lectura adicional

• Hua Luogeng (1981) Comenzando con el círculo unitario , Springer Verlag , ISBN 0-387-90589-8 . 

Enlaces externos

• Homeomorfismo y estructura de grupo en un círculo