En matemáticas , los puntos racionales en el círculo unitario son aquellos puntos ( x , y ) tales que tanto x como y son números racionales ("fracciones") y satisfacen x 2 + y 2 = 1. El conjunto de tales puntos resulta estar estrechamente relacionado con las ternas pitagóricas primitivas . Considérese un triángulo rectángulo primitivo , es decir, con longitudes de lados enteros a , b , c , con c la hipotenusa, tal que los lados no tienen ningún factor común mayor que 1. Entonces en el círculo unitario existe el punto racional ( a / c , b / c ), que, en el plano complejo , es simplemente a / c + ib / c , donde i es la unidad imaginaria . Por el contrario, si ( x , y ) es un punto racional en el círculo unitario en el 1er cuadrante del sistema de coordenadas (es decir, x > 0, y > 0), entonces existe un triángulo rectángulo primitivo con lados xc , yc , c , con c siendo el mínimo común múltiplo de los denominadores de x e y . Existe una correspondencia entre los puntos ( a , b ) en el plano x - y y los puntos a + ib en el plano complejo que se utiliza a continuación.
El conjunto de puntos racionales en el círculo unitario, abreviado G en este artículo, forma un grupo abeliano infinito bajo rotaciones. El elemento identidad es el punto (1, 0) = 1 + i 0 = 1. La operación de grupo, o "producto" es ( x , y ) * ( t , u ) = ( xt − uy , xu + yt ). Este producto es la suma de ángulos ya que x = cos ( A ) e y = sen ( A ), donde A es el ángulo que el vector ( x , y ) forma con el vector (1, 0), medido en sentido antihorario. Entonces, con ( x , y ) y ( t , u ) formando ángulos A y B con (1, 0) respectivamente, su producto ( xt − uy , xu + yt ) es simplemente el punto racional en el círculo unitario que forma el ángulo A + B con (1, 0). La operación de grupo se expresa más fácilmente con números complejos: identificando los puntos ( x , y ) y ( t , u ) con x + iy y t + iu respectivamente, el producto de grupo anterior es simplemente la multiplicación ordinaria de números complejos ( x + iy )( t + iu ) = xt − yu + i ( xu + yt ), que corresponde al punto ( xt − uy , xu + yt ) como arriba.
3/5 + 4/5 i y 5/13 + 12/13 i (que corresponden a las dos ternas pitagóricas más famosas (3,4,5) y (5,12,13)) son puntos racionales en el círculo unitario en el plano complejo y, por lo tanto, son elementos de G . Su producto de grupo es −33/65 + 56/65 i , que corresponde a la terna pitagórica (33,56,65). La suma de los cuadrados de los numeradores 33 y 56 es 1089 + 3136 = 4225, que es el cuadrado del denominador 65.
El conjunto de todas las matrices de rotación 2×2 con entradas racionales coincide con G. Esto se deduce del hecho de que el grupo circular es isomorfo a , y del hecho de que sus puntos racionales coinciden.
La estructura de G es una suma infinita de grupos cíclicos . Sea G 2 el subgrupo de G generado por el punto 0 + 1 i . G 2 es un subgrupo cíclico de orden 4. Para un primo p de la forma 4 k + 1, sea G p el subgrupo de elementos con denominador p n donde n es un entero no negativo. G p es un grupo cíclico infinito, y el punto ( a 2 − b 2 )/ p + (2 ab / p ) i es un generador de G p . Además, al factorizar los denominadores de un elemento de G , se puede demostrar que G es una suma directa de G 2 y G p . Es decir:
Dado que se trata de una suma directa y no de un producto directo , solo un número finito de valores en G p s son distintos de cero.
Considerando G como una suma directa infinita, considere el elemento ({ 0 }; 2, 0, 1, 0, 0, ..., 0, ...) donde la primera coordenada 0 está en C 4 y las otras coordenadas dan las potencias de ( a 2 − b 2 )/ p ( r ) + i 2 ab / p ( r ), donde p ( r ) es el r ésimo número primo de la forma 4 k + 1. Entonces esto corresponde, en G , al punto racional (3/5 + i 4/5) 2 ⋅ (8/17 + i 15/17) 1 = −416/425 + i87/425. El denominador 425 es el producto del denominador 5 dos veces, y el denominador 17 una vez, y como en el ejemplo anterior, el cuadrado del numerador −416 más el cuadrado del numerador 87 es igual al cuadrado del denominador 425. También debe notarse, como conexión para ayudar a retener la comprensión, que el denominador 5 = p (1) es el 1er primo de la forma 4 k + 1, y el denominador 17 = p (3) es el 3er primo de la forma 4 k + 1.
Hay una estrecha conexión entre este grupo en la hipérbola unitaria y el grupo discutido anteriormente. Si es un punto racional en el círculo unitario, donde a / c y b / c son fracciones reducidas , entonces ( c / a , b / a ) es un punto racional en la hipérbola unitaria, ya que satisface la ecuación para la hipérbola unitaria. La operación de grupo aquí es y la identidad de grupo es el mismo punto (1, 0) que arriba. En este grupo hay una estrecha conexión con el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico , que es paralela a la conexión con el coseno y el seno en el grupo del círculo unitario anterior.
Existen copias isomorfas de ambos grupos, como subgrupos (y como objetos geométricos) del grupo de los puntos racionales en la variedad abeliana en el espacio de cuatro dimensiones dado por la ecuación Nótese que esta variedad es el conjunto de puntos con métrica de Minkowski relativa al origen igual a 0. La identidad en este grupo más grande es (1, 0, 1, 0), y la operación de grupo es
Para el grupo de la circunferencia unitaria, el subgrupo apropiado es el subgrupo de puntos de la forma ( w , x , 1, 0), con y su elemento identidad es (1, 0, 1, 0). El grupo de hipérbola unitaria corresponde a los puntos de la forma (1, 0, y , z ), con y el elemento identidad es nuevamente (1, 0, 1, 0). (Por supuesto, dado que son subgrupos del grupo mayor, ambos deben tener el mismo elemento identidad).
