Unirse (topología)

Unión geométrica de dos segmentos de recta . Los espacios originales se muestran en verde y azul. La unión es un sólido tridimensional, un diefenoides , en color gris.

En topología , un campo de las matemáticas , la unión de dos espacios topológicos y , a menudo denotado por o , es un espacio topológico formado tomando la unión disjunta de los dos espacios y uniendo segmentos de línea que unen cada punto con cada punto . La unión de un espacio consigo mismo se denota por . La unión se define de maneras ligeramente diferentes en diferentes contextos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\ast B}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\star 2}:=A\star A}$

Conjuntos geométricos

Si y son subconjuntos del espacio euclidiano , entonces: ^{[1] : 1} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$,

es decir, el conjunto de todos los segmentos de línea entre un punto en y un punto en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Algunos autores ^{[2] : 5} restringen la definición a subconjuntos que son unibles : dos segmentos de línea diferentes cualesquiera, que conectan un punto de A con un punto de B, se encuentran como máximo en un punto final común (es decir, no se cruzan en su interior). Cada dos subconjuntos se pueden hacer "unibles". Por ejemplo, si está en y está en , entonces y se pueden unir en . La figura anterior muestra un ejemplo para m=n=1, donde y son segmentos de línea. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle A\times \{0^{m}\}\times \{0\}}$ ${\displaystyle \{0^{n}\}\times B\times \{1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m+1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Ejemplos

• La unión de dos símplices es un simplex: la unión de un simplex n -dimensional y un m -dimensional es un simplex ( m + n +1)-dimensional. Algunos casos especiales son:
  • La unión de dos puntos disjuntos es un intervalo ( m = n =0).
  • La unión de un punto y un intervalo es un triángulo (m=0, n=1).
  • La unión de dos segmentos de recta es homeomorfa a un tetraedro sólido o disfenoide , ilustrado en la figura arriba a la derecha ( m = n =1).
  • La unión de un punto y un simplex ( n -1)-dimensional es un simplex n -dimensional.
• La unión de un punto y un polígono (o cualquier politopo ) es una pirámide , al igual que la unión de un punto y un cuadrado es una pirámide cuadrada . La unión de un punto y un cubo forma una pirámide cúbica .
• La unión de un punto y una circunferencia es un cono , y la unión de un punto y una esfera es un hipercono .

Espacios topológicos

Si y son espacios topológicos, entonces: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ A\sqcup _{p_{0}}(A\times B\times [0,1])\sqcup _{p_{1}}B,}$

donde el cilindro se une a los espacios originales y a lo largo de las proyecciones naturales de las caras del cilindro: ${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {A\times B\times \{0\}}\xrightarrow {p_{0}} A,}$

${\displaystyle {A\times B\times \{1\}}\xrightarrow {p_{1}} B.}$

Por lo general, se supone implícitamente que y no están vacíos, en cuyo caso la definición suele expresarse de manera un poco diferente: en lugar de unir las caras del cilindro a los espacios y , estas caras simplemente se colapsan de la manera sugerida por las proyecciones de unión. : formamos el espacio cociente ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ (A\times B\times [0,1])/\sim ,}$

donde la relación de equivalencia se genera por ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{for all }}a\in A{\mbox{ and }}b_{1},b_{2}\in B,}$

${\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{for all }}a_{1},a_{2}\in A{\mbox{ and }}b\in B.}$

En los puntos finales, esto colapsa hacia y hacia . ${\displaystyle A\times B\times \{0\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times B\times \{1\}}$ ${\displaystyle B}$

Si y son subconjuntos acotados del espacio euclidiano , y y , donde son subespacios disjuntos de tales que la dimensión de su casco afín es (por ejemplo, dos líneas no paralelas que no se cruzan en ), entonces la definición topológica se reduce a la definición geométrica, es decir, la "unión geométrica" ​​es homeomorfa a la "unión topológica": ^{[3] : 75, Proposición 4.2.4} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\subseteq U}$ ${\displaystyle B\subseteq V}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dimU+dimV+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\big (}(A\times B\times [0,1])/\sim {\big )}\simeq \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$

Complejos simpliciales abstractos

Si y son complejos simpliciales abstractos , entonces su unión es un complejo simplicial abstracto definido de la siguiente manera: ^{[3] : 74, Def.4.2.1} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

• El conjunto de vértices es una unión disjunta de y . ${\displaystyle V(A\star B)}$ ${\displaystyle V(A)}$ ${\displaystyle V(B)}$
• Los simples de son todas uniones disjuntas de un simplex de con un simplex de : (en el caso especial en el que y son disjuntos, la unión es simplemente ). ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\star B:=\{a\sqcup b:a\in A,b\in B\}}$ ${\displaystyle V(A)}$ ${\displaystyle V(B)}$ ${\displaystyle \{a\cup b:a\in A,b\in B\}}$

Ejemplos

• Supongamos y , es decir, dos conjuntos con un solo punto. Entonces , que representa un segmento de línea. Tenga en cuenta que los conjuntos de vértices de A y B son disjuntos; de lo contrario, deberíamos haberlos separado. Por ejemplo, donde un ₁ y un ₂ son dos copias de un único elemento en V(A). Topológicamente, el resultado es el mismo que : un segmento de línea. ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$ ${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\}\}}$ ${\displaystyle A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$ ${\displaystyle A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$ ${\displaystyle A\star B}$
• Supongamos y . Entonces , que representa un triángulo. ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$ ${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}}$ ${\displaystyle A\star B=P(\{a,b,c\})}$
• Supongamos y , es decir, dos conjuntos con dos puntos discretos. entonces es un complejo con facetas , que representa un "cuadrado". ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$ ${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle \{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}}$

La definición combinatoria es equivalente a la definición topológica en el siguiente sentido: ^{[3] : 77, Ejercicio.3} para cada dos complejos simpliciales abstractos y , es homeomorfo a , donde denota cualquier realización geométrica del complejo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ||A\star B||}$ ${\displaystyle ||A||\star ||B||}$ ${\displaystyle ||X||}$ ${\displaystyle X}$

Mapas

Dados dos mapas y , su unión se define en función de la representación de cada punto en la unión como , para algunos : ^{[3] : 77} ${\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}$ ${\displaystyle f\star g:A_{1}\star B_{1}\to A_{2}\star B_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}\star B_{1}}$ ${\displaystyle t\cdot a+(1-t)\cdot b}$ ${\displaystyle a\in A_{1},b\in B_{1}}$

${\displaystyle f\star g~(t\cdot a+(1-t)\cdot b)~~=~~t\cdot f(a)+(1-t)\cdot g(b)}$

Casos especiales

El cono de un espacio topológico , denotado , es una unión con un solo punto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle X}$

La suspensión de un espacio topológico , denotado , es una unión de con (la esfera de dimensión 0 , o el espacio discreto con dos puntos). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{0}}$

Propiedades

Conmutatividad

La unión de dos espacios es conmutativa hasta el homeomorfismo , es decir . ${\displaystyle A\star B\cong B\star A}$

asociatividad

No es cierto que la operación de unión definida anteriormente sea asociativa hasta el homeomorfismo para espacios topológicos arbitrarios. Sin embargo, para espacios de Hausdorff localmente compactos tenemos. Por lo tanto, se puede definir la unión k veces de un espacio consigo mismo, ( k veces). ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle (A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).}$ ${\displaystyle A^{*k}:=A*\cdots *A}$

Es posible definir una operación de unión diferente que utilice el mismo conjunto subyacente pero con una topología diferente, y esta operación es asociativa para todos los espacios topológicos. Para espacios de Hausdorff localmente compactos y , las uniones y coinciden. ^[4] ${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$

Equivalencia de homotopía

Si y son equivalentes de homotopía , entonces y también son equivalentes de homotopía. ^{[3] : 77, Ejercicio.2} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A'\star B}$

Unión reducida

Dados los complejos CW con base y , la "unión reducida" ${\displaystyle (A,a_{0})}$ ${\displaystyle (B,b_{0})}$

${\displaystyle {\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}}$

es homeomorfo a la suspensión reducida

${\displaystyle \Sigma (A\wedge B)}$

del producto smash . En consecuencia, dado que es contráctil , existe una equivalencia de homotopía. ${\displaystyle {A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}$

${\displaystyle A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).}$

Esta equivalencia establece el isomorfismo . ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}}$

Conectividad homotópica

Dados dos espacios triangulares , la conectividad homotópica ( ) de su unión es al menos la suma de las conectividades de sus partes: ^{[3] : 81, Proposición 4.4.3} ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }}$

• ${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)}$.

Como ejemplo, sea un conjunto de dos puntos desconectados. Hay un agujero unidimensional entre los puntos, entonces . La unión es un cuadrado, que es homeomorfo a un círculo que tiene un agujero bidimensional, entonces . La unión de este cuadrado con una tercera copia de es un octaedro , que es homeomorfo a , cuyo agujero es tridimensional. En general, la unión de n copias de es homeomorfa a y . ${\displaystyle A=B=S^{0}}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1}$ ${\displaystyle A*B}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)=2}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{n-1})=n}$

Unirse eliminado

La unión eliminada de un complejo abstracto A es un complejo abstracto que contiene todas las uniones disjuntas de caras disjuntas de A : ^{[3] : 112}

${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}:a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\cap a_{2}=\emptyset \}}$

Ejemplos

• Supongamos (un solo punto). Entonces , es decir, un espacio discreto con dos puntos disjuntos (recordemos que = un intervalo). ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$ ${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}}$ ${\displaystyle A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$
• Supongamos (dos puntos). Entonces es un complejo con facetas (dos aristas disjuntas). ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$ ${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$ ${\displaystyle \{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}}$
• Supongamos (una ventaja). Entonces es un complejo con facetas (un cuadrado). Recordemos que representa un tetraedro sólido. ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$ ${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$ ${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}}$ ${\displaystyle A^{\star 2}}$
• Supongamos que A representa un simplex ( n -1) dimensional (con n vértices). Entonces la unión es un simplex ( 2n- 1)-dimensional (con 2 n vértices): es el conjunto de todos los puntos (x ₁ ,...,x _2n ) con coordenadas no negativas tales que x ₁ +.. .+x _2n =1. La unión eliminada puede considerarse como un subconjunto de este simplex: es el conjunto de todos los puntos (x ₁ ,...,x _2n ) en ese simplex, de modo que las únicas coordenadas distintas de cero son algunas k coordenadas en x ₁ ,. .,x _n , y las nk coordenadas complementarias en x _n+1 ,...,x _2n . ${\displaystyle A^{\star 2}}$ ${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$

Propiedades

La operación de unión eliminada conmuta con la unión. Es decir, por cada dos complejos abstractos A y B : ^{[3] : Lem.5.5.2}

${\displaystyle (A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})}$

Prueba . Cada simplex en el complejo del lado izquierdo tiene la forma , donde y son disjuntos. Debido a las propiedades de una unión disjunta, esta última condición equivale a: son disjuntos y son disjuntos. ${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$ ${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

Cada simplex en el complejo del lado derecho tiene la forma , donde , y son disjuntos y son disjuntos. Entonces los conjuntos de simples en ambos lados son exactamente iguales. □ ${\displaystyle (a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

En particular, la unión eliminada del simplex de n dimensiones consigo mismo es el politopo cruzado de n dimensiones , que es homeomorfo a la esfera de n dimensiones . ^{[3] : Cor.5.5.3} ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Generalización

La unión eliminada n veces en k de un complejo simplicial A se define como:

${\displaystyle A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}}$, donde "k-sabio disjunto" significa que cada subconjunto de k tiene una intersección vacía.

En particular, la unión eliminada de n veces y n contiene todas las uniones disjuntas de n caras cuya intersección está vacía, y la unión eliminada de n veces y 2 es más pequeña: contiene solo las uniones disjuntas de n caras que son por pares. desarticular. La unión eliminada doble en dos sentidos es solo la unión eliminada simple definida anteriormente.

La unión eliminada en dos sentidos de n veces de un espacio discreto con m puntos se llama complejo de tablero de ajedrez ( m , n ) .

Ver también

• Dessuspensión

Referencias

1. Colin P. Rourke y Brian J. Sanderson (1982). Introducción a la topología lineal por partes. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3.
2. Bryant, John L. (1 de enero de 2001), Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes", Manual de topología geométrica , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 219-259, ISBN 978-0-444-82432-5, recuperado el 15 de noviembre de 2022
3. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : conferencias sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
4. Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry (2016). Topología homotópica (2ª ed.). Saltador. pag. 20.

• Hatcher, Allen , Topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 págs. ISBN 0-521-79160-X e ISBN 0-521-79540-0  
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• Brown, Ronald , Topología y grupoides, sección 5.7 Uniones.