Unión disjunta

En matemáticas, operación sobre conjuntos.

En matemáticas , la unión disjunta (o unión discriminada ) de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A y B etiquetados (indexados) con el nombre del conjunto del que provienen. Así, un elemento perteneciente tanto a A como a B aparece dos veces en la unión disjunta, con dos etiquetas diferentes. ${\displaystyle A\sqcup B}$

Una unión disjunta de una familia indexada de conjuntos es un conjunto que a menudo se denota por con una inyección de cada uno en tal que las imágenes de estas inyecciones forman una partición de (es decir, cada elemento de pertenece exactamente a una de estas imágenes). Una unión disjunta de una familia de conjuntos disjuntos por pares es su unión . ${\displaystyle (A_{i}:i\in I)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto de la categoría de conjuntos y, por lo tanto, se define hasta una biyección . En este contexto, se utiliza a menudo la notación. ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$

La unión disjunta de dos conjuntos y se escribe con notación infija como . Algunos autores utilizan la notación alternativa o (junto con la correspondiente o ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\sqcup B}$ ${\displaystyle A\uplus B}$ ${\displaystyle A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B}$ ${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$

Una forma estándar de construir la unión disjunta es definirla como el conjunto de pares ordenados tales que y la inyección como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x,i)}$ ${\displaystyle x\in A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}\to A}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

Ejemplo

Considere los conjuntos y es posible indexar los elementos del conjunto según el origen del conjunto formando los conjuntos asociados. ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$ ${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}.}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}}$

donde el segundo elemento de cada par coincide con el subíndice del conjunto de origen (por ejemplo, in coincide con el subíndice in, etc.). La unión disjunta se puede calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (5,0)}$ ${\displaystyle A_{0},}$ ${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$ $${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.}$$

Definición de teoría de conjuntos

Formalmente, sea una familia indexada de conjuntos indexados por La unión disjunta de esta familia es el conjunto Los elementos de la unión disjunta son pares ordenados Aquí sirve como un índice auxiliar que indica de dónde proviene el elemento . ${\displaystyle \left(A_{i}:i\in I\right)}$ ${\displaystyle I.}$ $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ ${\displaystyle (x,i).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle x}$

Cada uno de los conjuntos es canónicamente isomorfo al conjunto A través de este isomorfismo, se puede considerar que está canónicamente inserto en la unión disjunta. Pues los conjuntos y son disjuntos incluso si los conjuntos y no lo son. ${\displaystyle A_{i}}$ $${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\neq j,}$ ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{j}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$

En el caso extremo en que cada uno de los es igual a un conjunto fijo para cada uno, la unión disjunta es el producto cartesiano de y : ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$$

Ocasionalmente, la notación se utiliza para la unión disjunta de una familia de conjuntos, o la notación para la unión disjunta de dos conjuntos. Esta notación pretende sugerir el hecho de que la cardinalidad de la unión disjunta es la suma de las cardinalidades de los términos de la familia. Compárese esto con la notación para el producto cartesiano de una familia de conjuntos. $${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$$ ${\displaystyle A+B}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto en la categoría de conjuntos . Por lo tanto, satisface la propiedad universal asociada . Esto también significa que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción del producto cartesiano . Consulte Coproducto para obtener más detalles.

Para muchos propósitos, la elección particular del índice auxiliar no es importante y, en un abuso simplificador de la notación , la familia indexada puede tratarse simplemente como una colección de conjuntos. En este caso, se hace referencia a ella como una copia de y, a veces, se utiliza la notación . ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$

Punto de vista de la teoría de categorías

En la teoría de categorías, la unión disjunta se define como un coproducto en la categoría de conjuntos.

Así, la unión disjunta se define hasta un isomorfismo, y la definición anterior es sólo una realización del coproducto, entre otras. Cuando los conjuntos son disjuntos por pares, la unión habitual es otra realización del coproducto. Esto justifica la segunda definición que aparece en la introducción.

Este aspecto categórico de la unión disjunta explica por qué se utiliza con frecuencia, en lugar de, para denotar coproducto . ${\displaystyle \coprod }$ ${\displaystyle \bigsqcup ,}$

Véase también

• Coproducto  – Construcción de teoría de categorías
• Límite directo  : caso especial de colimite en la teoría de categorías
• Unión disjunta (topología)  : espacio formado al equipar la unión disjunta de los conjuntos subyacentes con una topología natural llamada topología de unión disjuntaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Unión disjunta de grafos  : combinación de los conjuntos de vértices y aristas de dos grafos
• Intersección (teoría de conjuntos)  : Conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos.
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  – Igualdades para combinaciones de conjuntos
• Partición de un conjunto  – Formas matemáticas de agrupar elementos de un conjunto
• Tipo suma  : Estructura de datos utilizada para contener un valor que podría adoptar varios tipos diferentes, pero fijos.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Diferencia simétrica  : elementos en exactamente uno de dos conjuntos
• Unión etiquetada  : estructura de datos utilizada para contener un valor que podría adoptar varios tipos diferentes, pero fijos
• Unión (informática)  : tipo de datos que permite valores que son de varios tipos de datos diferentesPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (cuarta edición corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, pág. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. "Unión disjunta". MathWorld .