En matemáticas , la topología no conmutativa es un término utilizado para la relación entre conceptos topológicos y C*-algebraicos . El término tiene su origen en el teorema de Gelfand-Naimark , que implica la dualidad de la categoría de espacios de Hausdorff localmente compactos y la categoría de C*-álgebras conmutativas . La topología no conmutativa está relacionada con la geometría analítica no conmutativa .
La premisa detrás de la topología no conmutativa es que una C*-álgebra no conmutativa puede ser tratada como el álgebra de funciones continuas de valor complejo en un 'espacio no conmutativo' que no existe clásicamente. Varias propiedades topológicas pueden formularse como propiedades para las C*-álgebras sin hacer referencia a la conmutatividad o al espacio subyacente, y por lo tanto tienen una generalización inmediata. Entre ellas se encuentran:
Los elementos individuales de un C*-álgebra conmutativa corresponden a funciones continuas. Por lo tanto, ciertos tipos de funciones pueden corresponder a ciertas propiedades de un C*-álgebra. Por ejemplo, los elementos autoadjuntos de un C*-álgebra conmutativa corresponden a funciones continuas de valor real. Asimismo, las proyecciones (es decir, idempotentes autoadjuntos ) corresponden a funciones indicadoras de conjuntos clopen .
Las construcciones categóricas conducen a algunos ejemplos. Por ejemplo, el coproducto de los espacios es la unión disjunta y, por lo tanto, corresponde a la suma directa de las álgebras , que es el producto de las C*-álgebras. De manera similar, la topología del producto corresponde al coproducto de las C*-álgebras, el producto tensorial de las álgebras . En un contexto más especializado, las compactificaciones de las topologías corresponden a las unificación de las álgebras. Por lo tanto, la compactificación de un punto corresponde a la unificación mínima de las C*-álgebras, la compactificación de Stone–Čech corresponde al álgebra de multiplicadores y los conjuntos corona corresponden a las álgebras corona .
Existen ciertos ejemplos de propiedades en las que son posibles múltiples generalizaciones y no está claro cuál es preferible. Por ejemplo, las medidas de probabilidad pueden corresponder a estados o a estados trazales. Dado que todos los estados son estados trazales vacuos en el caso conmutativo, no está claro si la condición trazal es necesaria para que sea una generalización útil.
Uno de los principales ejemplos de esta idea es la generalización de la teoría K topológica a las C*-álgebras no conmutativas en la forma de la teoría K de operadores .
Un desarrollo posterior de esto es una versión bivariante de la teoría K llamada teoría KK , que tiene un producto de composición
De la cual la estructura de anillo en la teoría K ordinaria es un caso especial. El producto da la estructura de una categoría a KK. Se ha relacionado con correspondencias de variedades algebraicas . [1]
