En matemáticas , la teoría KK es una generalización común tanto de la homología K como de la teoría K como funtor bivariante aditivo en álgebras C* separables . Esta noción fue introducida por el matemático ruso Gennadi Kasparov [1] en 1980.
Fue influenciado por el concepto de Atiyah de módulos de Fredholm para el teorema de índice de Atiyah-Singer , y la clasificación de extensiones de C*-álgebras por Lawrence G. Brown , Ronald G. Douglas y Peter Arthur Fillmore en 1977. [2] A su vez, ha tenido un gran éxito en el formalismo algebraico de operadores hacia la teoría de índices y la clasificación de C*-álgebras nucleares , ya que fue la clave para las soluciones de muchos problemas en la teoría de operadores K, como, por ejemplo, el mero cálculo de K -grupos. Además, fue esencial en el desarrollo de la conjetura de Baum-Connes y juega un papel crucial en la topología no conmutativa .
La teoría KK fue seguida por una serie de construcciones de bifunctores similares, como la teoría E y la teoría cíclica periódica bivariante, la mayoría de ellas con matices más teóricos de categorías , o relacionadas con otra clase de álgebras en lugar de las C *-álgebras separables, o que incorporaban acciones de grupo .
La siguiente definición es bastante parecida a la que dio originalmente Kasparov. Esta es la forma en la que aparecen la mayoría de los elementos KK en las aplicaciones.
Sean A y B *-álgebras C separables , donde también se supone que B es σ -unital. El conjunto de ciclos es el conjunto de ternas ( H , ρ , F ) , donde H es un módulo de Hilbert graduado generado numerablemente sobre B , ρ es una *-representación de A sobre H como operadores pares acotados que conmutan con B , y F es un operador acotado sobre H de grado 1, que a su vez conmuta con B . Se requiere que cumplan la condición de que
para a en A son todos operadores B -compactos. Se dice que un ciclo es degenerado si las tres expresiones son 0 para todos los a .
Se dice que dos ciclos son homólogos u homotópicos si hay un ciclo entre A e IB , donde IB denota el C *-álgebra de funciones continuas desde [0, 1] hasta B , tal que hay un operador unitario par desde el extremo 0 de la homotopía hasta el primer ciclo, y un operador unitario desde el extremo 1 de la homotopía hasta el segundo ciclo.
El grupo KK KK( A , B ) entre A y B se define entonces como el conjunto de ciclos módulo homotopía. Se convierte en un grupo abeliano bajo la operación de suma directa de bimódulos como la adición y la clase de los módulos degenerados como su elemento neutro.
Existen varias definiciones, pero equivalentes, de la teoría KK, en particular la de Joachim Cuntz [3] que elimina el bimódulo y el operador 'Fredholm' F de la imagen y pone el acento completamente en el homomorfismo ρ . Más precisamente, se puede definir como el conjunto de clases de homotopía
de *-homomorfismos del álgebra clasificatoria qA de cuasi-homomorfismos al C *-álgebra de operadores compactos de un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita tensado con B. Aquí, qA se define como el núcleo de la función del producto libre C *-algebraico A * A de A consigo mismo a A definido por la identidad en ambos factores.
Cuando se toma el C *-álgebra C de los números complejos como primer argumento de KK como en KK ( C , B ) este grupo aditivo es naturalmente isomorfo al K 0 -grupo K 0 ( B ) del segundo argumento B . En el punto de vista de Cuntz, una K 0 -clase de B no es nada más que una clase de homotopía de *-homomorfismos desde los números complejos hasta la estabilización de B . De manera similar, cuando se toma el álgebra C 0 ( R ) de las funciones continuas en la línea real que decae en el infinito como primer argumento, el grupo obtenido KK ( C 0 ( R ), B ) es naturalmente isomorfo a K 1 ( B ).
Una propiedad importante de la teoría KK es el llamado producto de Kasparov , o producto de composición,
que es bilineal con respecto a las estructuras de grupo aditivo. En particular, cada elemento de KK ( A , B ) da un homomorfismo de K * ( A ) → K * ( B ) y otro homomorfismo K *( B ) → K *( A ) .
El producto se puede definir mucho más fácilmente en la imagen de Cuntz dado que hay mapas naturales de QA a A , y de B a K ( H ) ⊗ B que inducen KK -equivalencias.
El producto de composición da una nueva categoría , cuyos objetos están dados por las C *-álgebras separables mientras que los morfismos entre ellos están dados por elementos de los grupos KK correspondientes. Además, cualquier *-homomorfismo de A en B induce un elemento de KK ( A , B ) y esta correspondencia da un funtor de la categoría original de las C *-álgebras separables en . Los automorfismos aproximadamente internos de las álgebras se convierten en morfismos identidad en .
Este funtor es universal entre los funtores aditivos estables, invariantes de homotopía y exactos divididos en la categoría de las C *-álgebras separables. Cualquier teoría de este tipo satisface la periodicidad de Bott en el sentido apropiado, ya que lo hace.
El producto de Kasparov se puede generalizar aún más a la siguiente forma:
Contiene como casos especiales no sólo el producto de copa K-teórico , sino también los productos de tapa , cruz y pendiente K-teóricos y el producto de extensiones.
![{\displaystyle [F,\rho (a)],(F^{2}-1)\rho (a),(FF^{*})\rho (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f2354422ac23b254e53d4f547b52846b4d306d)
![{\displaystyle KK(A,B)=[qA,K(H)\otimes B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e06d9491f75ae7820e4602b7df1ef82f1b6f752)
