Módulo C* de Hilbert

Objetos matemáticos que generalizan la noción de espacios de Hilbert

Los C*-módulos de Hilbert son objetos matemáticos que generalizan la noción de espacios de Hilbert (que son en sí mismos generalizaciones del espacio euclidiano ), ya que dotan a un espacio lineal de un " producto interno " que toma valores en un C*-álgebra .

Se introdujeron por primera vez en el trabajo de Irving Kaplansky en 1953 , que desarrolló la teoría de las álgebras unitarias conmutativas ( aunque Kaplansky observó que la suposición de un elemento unitario no era "vital"). ^[1]

En la década de 1970, la teoría se extendió a las C*-álgebras no conmutativas de forma independiente por William Lindall Paschke ^[2] y Marc Rieffel , este último en un artículo que utilizó los C*-módulos de Hilbert para construir una teoría de representaciones inducidas de C*-álgebras. ^[3]

Los C*-módulos de Hilbert son cruciales para la formulación de la teoría KK de Kasparov , ^[4] y proporcionan el marco adecuado para extender la noción de equivalencia de Morita a las C*-álgebras. ^[5] Pueden verse como la generalización de los fibrados vectoriales a las C*-álgebras no conmutativas y como tales juegan un papel importante en la geometría no conmutativa , en particular en la teoría cuántica de grupos algebraicos C*, ^{[6] [7]} y en las C*-álgebras grupoides .

Definiciones

Módulos C* de productos internos

Sea una C*-álgebra (no se supone que sea conmutativa o unital), su involución se denota por . Un módulo de producto interno (o módulo pre-Hilbert ) es un espacio lineal complejo equipado con una estructura de módulo derecho compatible , junto con una función ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{A}:E\times E\rightarrow A}$

que satisface las siguientes propiedades:

• Para todos , , en , y , en : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \langle x,y\alpha +z\beta \rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}\alpha +\langle x,z\rangle _{A}\beta }$

( es decir, el producto interno es -lineal en su segundo argumento). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Para todos , en , y en : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle x,ya\rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}a}$

• Para todos , en : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=\langle y,x\rangle _{A}^{*},}$

de lo cual se sigue que el producto interno es lineal conjugado en su primer argumento ( es decir, es una forma sesquilineal ).

• Para todos en : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}\geq 0}$

en el sentido de ser un elemento positivo de A , y

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}=0\iff x=0.}$

(Se dice que un elemento de un C*-álgebra es positivo si es autoadjunto con un espectro no negativo .) ^{[8] [9]} ${\displaystyle A}$

Módulos C* de Hilbert

Un análogo de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se aplica a un módulo de producto interno : ^[10] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}\langle y,x\rangle _{A}\leq \Vert \langle y,y\rangle _{A}\Vert \langle x,x\rangle _{A}}$

para , en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle E}$

En el módulo pre-Hilbert , defina una norma mediante ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \langle x,x\rangle _{A}\Vert ^{\frac {1}{2}}.}$

La completitud de la norma de , todavía denotada por , se dice que es un módulo de Hilbert o un C*-módulo de Hilbert sobre el C*-álgebra . La desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que el producto interno es conjuntamente continuo en la norma y, por lo tanto, puede extenderse hasta la completitud. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

La acción de on es continua: para todo en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle a_{\lambda }\rightarrow a\Rightarrow xa_{\lambda }\rightarrow xa.}$

De manera similar, si es una unidad aproximada para (una red de elementos autoadjuntos de para los cuales y tienden a para cada uno en ), entonces para en ${\displaystyle (e_{\lambda })}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ae_{\lambda }}$ ${\displaystyle e_{\lambda }a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x.}$

De donde se sigue que es denso en , y cuando es unital. ${\displaystyle EA}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x1_{A}=x}$ ${\displaystyle A}$

Dejar

${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}=\operatorname {span} \{\langle x,y\rangle _{A}\mid x,y\in E\},}$

entonces el cierre de es un ideal bilateral en . Los ideales bilaterales son subálgebras C* y por lo tanto poseen unidades aproximadas. Se puede verificar que es denso en . En el caso en que es denso en , se dice que es completo . Esto no suele cumplirse. ${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E\langle E,E\rangle _{A}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

Ejemplos

Espacios de Hilbert

Dado que los números complejos son un C*-álgebra con una involución dada por la conjugación compleja , un espacio de Hilbert complejo es un módulo de Hilbert bajo la multiplicación escalar por números complejos y su producto interno. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Paquetes de vectores

Si es un espacio de Hausdorff localmente compacto y un fibrado vectorial sobre con proyección de métrica hermítica , entonces el espacio de secciones continuas de es un módulo de Hilbert. Dadas las secciones de y la acción correcta se define por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \sigma ,\rho }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\in C(X)}$

${\displaystyle \sigma f(x)=\sigma (x)f(\pi (x)),}$

y el producto interno viene dado por

${\displaystyle \langle \sigma ,\rho \rangle _{C(X)}(x):=g(\sigma (x),\rho (x)).}$

También se cumple lo inverso: todo C*-módulo de Hilbert generado de forma contable sobre un C*-álgebra unital conmutativa es isomorfo al espacio de secciones que se desvanecen en el infinito de un campo continuo de espacios de Hilbert sobre . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle A=C(X)}$ ${\displaystyle X}$

Álgebras C*

Cualquier C*-álgebra es un módulo de Hilbert con la acción dada por la multiplicación por la derecha en y el producto interno . Por la C*-identidad, la norma del módulo de Hilbert coincide con la C*-norma en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle =a^{*}b}$ ${\displaystyle A}$

La suma directa (algebraica) de copias de ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{n}=\bigoplus _{i=1}^{n}A}$

se puede convertir en un módulo de Hilbert definiendo ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle (a_{i}),(b_{i})\rangle _{A}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}.}$

Si es una proyección en el álgebra C* , entonces es también un módulo de Hilbert con el mismo producto interno que la suma directa. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M_{n}(A)}$ ${\displaystyle pA^{n}}$ ${\displaystyle A}$

El módulo estándar de Hilbert

También se puede considerar el siguiente subespacio de elementos en el producto directo contable de ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \ell _{2}(A)={\mathcal {H}}_{A}={\Big \{}(a_{i})|\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{*}a_{i}{\text{ converges in }}A{\Big \}}.}$

Dotado del producto interno obvio (análogo al de ), el módulo de Hilbert resultante se denomina módulo de Hilbert estándar sobre . ${\displaystyle A^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

El módulo de Hilbert estándar juega un papel importante en la prueba del teorema de estabilización de Kasparov que establece que para cualquier módulo de Hilbert generado contablemente existe un isomorfismo isométrico ^[11]. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\oplus \ell ^{2}(A)\cong \ell ^{2}(A).}$

Mapas entre módulos de Hilbert

Sean y dos módulos de Hilbert sobre la misma C*-álgebra . Se trata entonces de espacios de Banach, por lo que es posible hablar del espacio de Banach de aplicaciones lineales acotadas , normado por la norma del operador. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$

Los operadores adjuntables y adjuntables compactos son subespacios de este espacio de Banach definidos utilizando las estructuras de producto interno en y . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

En el caso especial donde estos se reducen a operadores acotados y compactos en los espacios de Hilbert respectivamente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Mapas adjuntables

Un mapa (no necesariamente lineal) se define como adjuntable si existe otro mapa , conocido como el adjunto de , tal que para cada y , ${\displaystyle T\colon E\to F}$ ${\displaystyle T^{*}\colon F\to E}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle f\in F}$

${\displaystyle \langle f,Te\rangle =\langle T^{*}f,e\rangle .}$

Tanto y como son automáticamente mapas lineales y también de módulo. El teorema del grafo cerrado se puede utilizar para demostrar que también están acotados. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle A}$

Análogamente al adjunto de operadores en espacios de Hilbert, es único (si existe) y es en sí mismo adjuntable con el adjunto . Si es una segunda función adjuntable, es adjuntable con el adjunto . ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S\colon F\to G}$ ${\displaystyle ST}$ ${\displaystyle S^{*}T^{*}}$

Los operadores adjuntables forman un subespacio de , que es completo en la norma del operador. ${\displaystyle E\to F}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$

En el caso , el espacio de operadores adjuntables de a sí mismo se denota , y es una C*-álgebra. ^[12] ${\displaystyle F=E}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (E,E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$

Mapas compactos y adjuntables

Dados y , el mapa se define, análogamente a los operadores de rango uno de los espacios de Hilbert, como ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle |f\rangle \langle e|\colon E\to F}$

${\displaystyle g\mapsto f\langle e,g\rangle .}$

Esto es adjuntable con adjunto . ${\displaystyle |e\rangle \langle f|}$

Los operadores compactos adjuntables se definen como el lapso cerrado de ${\displaystyle \mathbb {K} (E,F)}$

${\displaystyle \{|f\rangle \langle e|\mid e\in E,\;f\in F\}}$

en . ${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$

Al igual que con los operadores acotados, se denota . Este es un ideal (cerrado, bilateral) de . ^[13] ${\displaystyle \mathbb {K} (E,E)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} (E)}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$

Correspondencias C*

Si y son C*-álgebras, una C*-correspondencia es un módulo de Hilbert equipado con una acción izquierda de mediante funciones adjuntables que es fiel. (NB: Algunos autores requieren que la acción izquierda sea no degenerada en su lugar). Estos objetos se utilizan en la formulación de la equivalencia de Morita para C*-álgebras, véanse las aplicaciones en la construcción de las álgebras de Toeplitz y Cuntz-Pimsner, ^[14] y pueden emplearse para poner la estructura de una bicategoría en la colección de C*-álgebras. ^[15] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Productos tensoriales y bicategoría de correspondencias

Si es una y una correspondencia, el producto tensorial algebraico de y como espacios vectoriales hereda las estructuras de módulo y módulo izquierdo y derecho respectivamente . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (B,C)}$ ${\displaystyle E\odot F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

También puede dotarse de la forma sesquilínea valorada definida en tensores puros por ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \langle e\odot f,e'\odot f'\rangle _{C}:=\langle f,\langle e,e'\rangle _{B}f\rangle _{C}.}$

Esta es una semidefinida positiva, y la completitud de Hausdorff de en la seminorma resultante se denota . Las acciones izquierda y derecha de y se extienden para hacer de esto una correspondencia. ^[16] ${\displaystyle E\odot F}$ ${\displaystyle E\otimes _{B}F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A,C)}$

La colección de C*-álgebras puede entonces ser dotada de la estructura de una bicategoría, con C*-álgebras como objetos, correspondencias como flechas e isomorfismos de correspondencias (mapas de módulos biyectivos que preservan productos internos) como 2-flechas. ^[17] ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle B\to A}$

Álgebra de Toeplitz de una correspondencia

Dada un C*-álgebra y una correspondencia , su álgebra de Toeplitz se define como el álgebra universal para representaciones de Toeplitz (definidas a continuación). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,A)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$

El álgebra clásica de Toeplitz se puede recuperar como un caso especial, y las álgebras de Cuntz-Pimsner se definen como cocientes particulares de las álgebras de Toeplitz. ^[18]

En particular, las álgebras gráficas , los productos cruzados por ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ y las álgebras de Cuntz son todos cocientes de álgebras de Toeplitz específicas.

Representaciones de Toeplitz

Una representación de Toeplitz ^[19] de en un C*-álgebra es un par de un mapa lineal y un homomorfismo tal que ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (S,\phi )}$ ${\displaystyle S\colon E\to D}$ ${\displaystyle \phi \colon A\to D}$

• ${\displaystyle S}$es "isométrico":

${\displaystyle S(e)^{*}S(f)=\phi (\langle e,f\rangle )}$Para todos , ${\displaystyle e,f\in E}$

• ${\displaystyle S}$se asemeja a un mapa bimodular:

${\displaystyle S(ae)=\phi (a)S(e)}$y para y . ${\displaystyle S(ea)=S(e)\phi (a)}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle a\in A}$

Álgebra de Toeplitz

El álgebra de Toeplitz es la representación universal de Toeplitz. Es decir, existe una representación de Toeplitz de en tal que si es cualquier representación de Toeplitz de (en un álgebra arbitraria ) existe un *-homomorfismo único tal que y . ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$ ${\displaystyle (T,\iota )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$ ${\displaystyle (S,\phi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {T}}(E)\to D}$ ${\displaystyle S=\Phi \circ T}$ ${\displaystyle \phi =\Phi \circ \iota }$

Ejemplos

Si se toma como el álgebra de números complejos, y el espacio vectorial , dotado de la estructura natural -bimódulo, el álgebra de Toeplitz correspondiente es el álgebra universal generada por isometrías con proyecciones de rango mutuamente ortogonales. ^[21] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$

En particular, el álgebra universal generada por una única isometría, es el álgebra clásica de Toeplitz. ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\mathbb {C} )}$

Véase también

• Álgebra de operadores

Notas

1. Kaplansky, I. (1953). "Módulos sobre álgebras de operadores". American Journal of Mathematics . 75 (4): 839–853. doi :10.2307/2372552. JSTOR  2372552.
2. Paschke, WL (1973). "Módulos de producto interno sobre B*-álgebras". Transactions of the American Mathematical Society . 182 : 443–468. doi :10.2307/1996542. JSTOR  1996542.
3. Rieffel, MA (1974). "Representaciones inducidas de C*-álgebras". Avances en Matemáticas . 13 (2): 176–257. doi : 10.1016/0001-8708(74)90068-1 .
4. Kasparov, GG (1980). "C*-módulos de Hilbert: teoremas de Stinespring y Voiculescu". Journal of Operator Theory . 4 . Theta Foundation: 133–150.
5. Rieffel, MA (1982). "Equivalencia de Morita para álgebras de operadores". Actas de simposios sobre matemáticas puras . 38. American Mathematical Society: 176–257.
6. Baaj, S.; Skandalis, G. (1993). "Unitaires multiplicatifs et dualité pour les produits croisés de C*-algèbres". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 (4): 425–488. doi : 10.24033/asens.1677 .
7. Woronowicz, SL (1991). "Elementos no acotados afiliados a C*-álgebras y grupos cuánticos no compactos". Communications in Mathematical Physics . 136 (2): 399–432. Bibcode :1991CMaPh.136..399W. doi :10.1007/BF02100032. S2CID  118184597.
8. Arveson, William (1976). Una invitación a las C*-álgebras . Springer-Verlag. pág. 35.
9. En el caso en que no es unitario, el espectro de un elemento se calcula en el C*-álgebra generada al agregar una unidad a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
10. De hecho, este resultado es válido para módulos de producto interno semiterminales , que pueden tener elementos distintos de cero tales que , ya que la prueba no se basa en la propiedad de no degeneración . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}=0}$
11. Kasparov, GG (1980). "C*-módulos de Hilbert: teoremas de Stinespring y Voiculescu". Revista de teoría de operadores . 4 . ThetaFoundation: 133–150.
12. Wegge-Olsen 1993, págs. 240-241.
13. Wegge-Olsen 1993, págs. 242-243.
14. Brown, Ozawa 2008, sección 4.6.
15. Buss, Meyer, Zhu, 2013, sección 2.2.
16. Brown, Ozawa 2008, págs. 138-139.
17. Buss, Meyer, Zhu 2013, sección 2.2.
18. Brown, Ozawa, 2008, sección 4.6.
19. Fowler, Raeburn, 1999, sección 1.
20. Fowler, Raeburn, 1999, Proposición 1.3.
21. Brown, Ozawa, 2008, Ejemplo 4.6.10.

Referencias

• Lance, E. Christopher (1995). Hilbert C*-modules: A toolkit for operator algebraists . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press.
• Wegge-Olsen, NE (1993). Teoría K y álgebras C* . Oxford University Press.
• Brown, Nathanial P.; Ozawa, Narutaka (2008). C*-Álgebras y aproximaciones de dimensión finita. Sociedad Matemática Americana.
• Buss, Alcides; Meyer, Ralf; Zhu, Chenchang (2013). "Un enfoque de categoría superior para acciones retorcidas en c*-álgebras". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 56 (2): 387–426. arXiv : 0908.0455 . doi :10.1017/S0013091512000259.
• Fowler, Neal J.; Raeburn, Iain (1999). "El álgebra de Toeplitz de un bimódulo de Hilbert". Revista de Matemáticas de la Universidad de Indiana . 48 (1): 155–181. arXiv : math/9806093 . doi :10.1512/iumj.1999.48.1639. JSTOR  24900141.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Módulo Hilbert C *". MundoMatemático .
• Página de inicio de los módulos C* de Hilbert, una lista de literatura