Una interpretación es una asignación de significado a los símbolos de un lenguaje formal . Muchos lenguajes formales utilizados en matemáticas , lógica e informática teórica se definen únicamente en términos sintácticos y, como tales, no tienen ningún significado hasta que se les da alguna interpretación. El estudio general de las interpretaciones de los lenguajes formales se denomina semántica formal .
Las lógicas formales más comúnmente estudiadas son la lógica proposicional , la lógica de predicados y sus análogos modales , y para ellas existen formas estándar de presentar una interpretación. En estos contextos una interpretación es una función que proporciona la extensión de símbolos y cadenas de símbolos de un lenguaje objeto. Por ejemplo, una función de interpretación podría tomar el predicado T (para "alto") y asignarle la extensión { a } (para "Abraham Lincoln"). Lo único que hace nuestra interpretación es asignar la extensión {a} a la constante no lógica T , y no afirma si T debe representar alto y 'a' a Abraham Lincoln. La interpretación lógica tampoco tiene nada que decir sobre conectivos lógicos como "y", "o" y "no". Aunque podemos considerar que estos símbolos representan ciertas cosas o conceptos, esto no está determinado por la función de interpretación.
Una interpretación a menudo (pero no siempre) proporciona una manera de determinar los valores de verdad de las oraciones en un idioma. Si una interpretación dada asigna el valor Verdadero a una oración o teoría , la interpretación se llama modelo de esa oración o teoría.
Un lenguaje formal consta de un conjunto posiblemente infinito de oraciones (llamadas de diversas formas palabras o fórmulas ) construidas a partir de un conjunto fijo de letras o símbolos . El inventario del que se extraen estas letras se denomina alfabeto sobre el que se define la lengua. Para distinguir las cadenas de símbolos que se encuentran en un lenguaje formal de cadenas de símbolos arbitrarias, las primeras a veces se denominan fórmulas bien formadas (wff). La característica esencial de un lenguaje formal es que su sintaxis puede definirse sin referencia a la interpretación. Por ejemplo, podemos determinar que ( P o Q ) es una fórmula bien formada incluso sin saber si es verdadera o falsa.
Un lenguaje formal se puede definir con el alfabeto , y con una palabra en si comienza con y está compuesta únicamente por los símbolos y .
Una posible interpretación de podría asignar el dígito decimal '1' y '0' a . Entonces denotaría 101 según esta interpretación de .
En los casos específicos de la lógica proposicional y la lógica de predicados, los lenguajes formales considerados cuentan con alfabetos que se dividen en dos conjuntos: los símbolos lógicos ( constantes lógicas ) y los símbolos no lógicos. La idea detrás de esta terminología es que los símbolos lógicos tienen el mismo significado independientemente del tema que se estudie, mientras que los símbolos no lógicos cambian de significado según el área de investigación.
A las constantes lógicas siempre se les da el mismo significado en cada interpretación del tipo estándar, de modo que sólo se cambian los significados de los símbolos no lógicos. Las constantes lógicas incluyen símbolos cuantificadores ∀ ("todos") y ∃ ("algunos"), símbolos para conectivos lógicos ∧ ("y"), ∨ ("o"), ¬ ("no"), paréntesis y otros símbolos de agrupación. y (en muchos tratamientos) el símbolo de igualdad =.
Muchas de las interpretaciones comúnmente estudiadas asocian cada oración en un lenguaje formal con un único valor de verdad, ya sea Verdadero o Falso. Estas interpretaciones se denominan verdad funcional ; [ dudoso ] incluyen las interpretaciones habituales de la lógica proposicional y de primer orden. Se dice que las oraciones que se hacen verdaderas mediante una asignación particular quedan satisfechas por esa asignación.
En lógica clásica , ninguna oración puede convertirse en verdadera y falsa mediante la misma interpretación, aunque esto no es cierto en lógicas de exceso como LP. [1] Sin embargo, incluso en la lógica clásica, es posible que el valor de verdad de la misma oración pueda ser diferente bajo diferentes interpretaciones. Una oración es consistente si es verdadera bajo al menos una interpretación; de lo contrario es inconsistente . Se dice que una oración φ es lógicamente válida si se satisface con cada interpretación (si φ se satisface con cada interpretación que satisface ψ, entonces se dice que φ es una consecuencia lógica de ψ).
Algunos de los símbolos lógicos de un lenguaje (distintos de los cuantificadores) son conectivos funcionales de verdad que representan funciones de verdad: funciones que toman valores de verdad como argumentos y devuelven valores de verdad como resultados (en otras palabras, son operaciones sobre valores de verdad de oraciones). .
Los conectivos funcionales de verdad permiten construir oraciones compuestas a partir de oraciones más simples. De esta manera, el valor de verdad de la oración compuesta se define como una determinada función de verdad de los valores de verdad de las oraciones más simples. Los conectivos generalmente se consideran constantes lógicas , lo que significa que el significado de los conectivos es siempre el mismo, independientemente de las interpretaciones que se den a los otros símbolos en una fórmula.
Así es como definimos los conectivos lógicos en lógica proposicional:
Entonces, bajo una interpretación dada de todas las letras de la oración Φ y Ψ (es decir, después de asignar un valor de verdad a cada letra de la oración), podemos determinar los valores de verdad de todas las fórmulas que las tienen como constituyentes, como una función de la lógica. conectivos. La siguiente tabla muestra cómo se ve este tipo de cosas. Las dos primeras columnas muestran los valores de verdad de las letras de las oraciones determinados por las cuatro posibles interpretaciones. Las otras columnas muestran los valores de verdad de las fórmulas construidas a partir de estas letras de oraciones, con valores de verdad determinados de forma recursiva.
Ahora es más fácil ver qué hace que una fórmula sea lógicamente válida. Tome la fórmula F : (Φ ∨ ¬Φ). Si nuestra función de interpretación hace que Φ sea Verdadero, entonces ¬Φ se hace Falso por el conectivo de negación. Dado que la disyuntiva Φ de F es verdadera según esa interpretación, F es verdadera. Ahora bien, la única otra interpretación posible de Φ la hace falsa y, de ser así, ¬Φ se convierte en verdadera mediante la función de negación. Eso haría que F fuera verdadera nuevamente, ya que uno de los disyuntos de F , ¬Φ, sería verdadero bajo esta interpretación. Dado que estas dos interpretaciones de F son las únicas interpretaciones lógicas posibles, y dado que F resulta Verdadero para ambas, decimos que es lógicamente válida o tautóloga.
Una interpretación de una teoría es la relación entre una teoría y algún tema cuando existe una correspondencia de muchos a uno entre ciertos enunciados elementales de la teoría y ciertos enunciados relacionados con el tema. Si cada enunciado elemental de la teoría tiene un correspondiente se llama interpretación completa , en caso contrario se llama interpretación parcial . [2]
El lenguaje formal de la lógica proposicional consta de fórmulas construidas a partir de símbolos proposicionales (también llamados símbolos oracionales, variables oracionales, variables proposicionales ) y conectivos lógicos. Los únicos símbolos no lógicos en un lenguaje formal para la lógica proposicional son los símbolos proposicionales, que a menudo se indican con letras mayúsculas. Para que el lenguaje formal sea preciso, se debe fijar un conjunto específico de símbolos proposicionales.
El tipo estándar de interpretación en este contexto es una función que asigna cada símbolo proposicional a uno de los valores de verdad verdadero y falso. Esta función se conoce como asignación de verdad o función de valoración . En muchas presentaciones, lo que se asigna literalmente es un valor de verdad, pero en algunas presentaciones se asignan portadores de la verdad .
Para un lenguaje con n variables proposicionales distintas, hay 2 n interpretaciones posibles distintas. Para cualquier variable particular a , por ejemplo, hay 2 1 =2 interpretaciones posibles: 1) a se le asigna T , o 2) a se le asigna F. Para el par a , b hay 2 2 =4 posibles interpretaciones: 1) a ambos se les asigna T , 2) a ambos se les asigna F , 3) a a se le asigna T y a b se le asigna F , o 4) a a se le asigna F y b se le asigna T.
Dada cualquier asignación de verdad para un conjunto de símbolos proposicionales, existe una extensión única a una interpretación para todas las fórmulas proposicionales construidas a partir de esas variables. Esta interpretación ampliada se define inductivamente, utilizando las definiciones de la tabla de verdad de los conectivos lógicos discutidos anteriormente.
A diferencia de la lógica proposicional, donde cada lenguaje es igual salvo la elección de un conjunto diferente de variables proposicionales, existen muchos lenguajes de primer orden diferentes. Cada idioma de primer orden está definido por una firma . La firma consta de un conjunto de símbolos no lógicos y una identificación de cada uno de estos símbolos como un símbolo constante, un símbolo de función o un símbolo de predicado . En el caso de símbolos de funciones y predicados, también se asigna una aridad numérica natural . El alfabeto del lenguaje formal consta de constantes lógicas, el símbolo de relación de igualdad =, todos los símbolos de la firma y un conjunto infinito adicional de símbolos conocidos como variables.
Por ejemplo, en el lenguaje de los anillos , hay símbolos constantes 0 y 1, dos símbolos de función binaria + y ·, y ningún símbolo de relación binaria. (Aquí la relación de igualdad se toma como una constante lógica).
Nuevamente, podríamos definir un lenguaje de primer orden L como si estuviera formado por símbolos individuales a, b y c; símbolos de predicado F, G, H, I y J; variables x, y, z; sin letras de función; sin símbolos oracionales.
Dada una firma σ, el lenguaje formal correspondiente se conoce como conjunto de σ-fórmulas. Cada fórmula σ se construye a partir de fórmulas atómicas mediante conectivos lógicos; Las fórmulas atómicas se construyen a partir de términos que utilizan símbolos de predicados. La definición formal del conjunto de fórmulas σ procede en la otra dirección: primero, los términos se ensamblan a partir de los símbolos de constantes y funciones junto con las variables. Luego, los términos se pueden combinar en una fórmula atómica usando un símbolo de predicado (símbolo de relación) de la firma o el símbolo de predicado especial "=" para la igualdad (consulte la sección "Interpretación de la igualdad" a continuación). Finalmente, las fórmulas del lenguaje se ensamblan a partir de fórmulas atómicas utilizando los conectivos lógicos y los cuantificadores.
Para atribuir significado a todas las oraciones de un lenguaje de primer orden, se necesita la siguiente información.
Un objeto que lleva esta información se conoce como estructura (de firma σ), o estructura σ, o estructura L (de lenguaje L), o como "modelo".
La información especificada en la interpretación proporciona suficiente información para dar un valor de verdad a cualquier fórmula atómica, después de que cada una de sus variables libres , si las hubiera, haya sido reemplazada por un elemento del dominio. Luego, el valor de verdad de una oración arbitraria se define inductivamente utilizando el esquema T , que es una definición de semántica de primer orden desarrollada por Alfred Tarski. El esquema T interpreta los conectivos lógicos utilizando tablas de verdad, como se analizó anteriormente. Así, por ejemplo, φ ∧ ψ se satisface si y sólo si se satisfacen tanto φ como ψ.
Esto deja la cuestión de cómo interpretar fórmulas de la forma ∀ x φ( x ) y ∃ x φ( x ) . El dominio del discurso forma el rango de estos cuantificadores. La idea es que la oración ∀ x φ( x ) es verdadera bajo una interpretación exactamente cuando se satisface cada instancia de sustitución de φ( x ), donde x es reemplazado por algún elemento del dominio. La fórmula ∃ x φ( x ) se cumple si hay al menos un elemento d del dominio tal que se satisface φ( d ).
Estrictamente hablando, un caso de sustitución como la fórmula φ( d ) mencionada anteriormente no es una fórmula en el lenguaje formal original de φ, porque d es un elemento del dominio. Hay dos formas de manejar este problema técnico. La primera es pasar a un lenguaje más amplio en el que cada elemento del dominio se nombra mediante un símbolo constante. La segunda es agregar a la interpretación una función que asigne cada variable a un elemento del dominio. Entonces, el esquema T puede cuantificar variaciones de la interpretación original en las que se cambia esta función de asignación de variables, en lugar de cuantificar instancias de sustitución.
Algunos autores también admiten variables proposicionales en la lógica de primer orden, que luego también deben interpretarse. Una variable proposicional puede valerse por sí sola como una fórmula atómica. La interpretación de una variable proposicional es uno de los dos valores de verdad verdadero y falso. [4]
Debido a que las interpretaciones de primer orden aquí descritas están definidas en la teoría de conjuntos , no asocian cada símbolo de predicado con una propiedad [5] (o relación), sino más bien con la extensión de esa propiedad (o relación). En otras palabras, estas interpretaciones de primer orden son extensionales [6], no intencionales .
Un ejemplo de interpretación del lenguaje L descrito anteriormente es el siguiente.
En la interpretación de L:
Como se indicó anteriormente, generalmente se requiere una interpretación de primer orden para especificar un conjunto no vacío como dominio del discurso. El motivo de este requisito es garantizar que equivalencias como
Las relaciones vacías no causan ningún problema para las interpretaciones de primer orden, porque no existe una noción similar de pasar un símbolo de relación a través de un conectivo lógico, ampliando su alcance en el proceso. Por tanto, es aceptable que los símbolos de relación se interpreten como idénticamente falsos. Sin embargo, la interpretación de un símbolo de función siempre debe asignar al símbolo una función total y bien definida.
La relación de igualdad a menudo se trata especialmente en la lógica de primer orden y otras lógicas de predicados. Hay dos enfoques generales.
El primer enfoque es tratar la igualdad como si no fuera diferente de cualquier otra relación binaria. En este caso, si se incluye un símbolo de igualdad en la firma, generalmente es necesario agregar varios axiomas sobre la igualdad a los sistemas de axiomas (por ejemplo, el axioma de sustitución que dice que si a = b y R ( a ) se cumple, entonces R ( b ) también se cumple). Este enfoque de la igualdad es más útil cuando se estudian firmas que no incluyen la relación de igualdad, como la firma de la teoría de conjuntos o la firma de la aritmética de segundo orden en las que sólo hay una relación de igualdad para los números, pero no una relación de igualdad para los números. conjunto de números.
El segundo enfoque es tratar el símbolo de la relación de igualdad como una constante lógica que debe ser interpretada por la relación de igualdad real en cualquier interpretación. Una interpretación que interpreta la igualdad de esta manera se conoce como modelo normal , por lo que este segundo enfoque es lo mismo que estudiar únicamente interpretaciones que resultan ser modelos normales. La ventaja de este enfoque es que los axiomas relacionados con la igualdad se satisfacen automáticamente en todo modelo normal, por lo que no es necesario incluirlos explícitamente en las teorías de primer orden cuando la igualdad se trata de esta manera. Este segundo enfoque a veces se denomina lógica de primer orden con igualdad , pero muchos autores lo adoptan para el estudio general de la lógica de primer orden sin comentarios.
Hay algunas otras razones para restringir el estudio de la lógica de primer orden a los modelos normales. Primero, se sabe que cualquier interpretación de primer orden en la que la igualdad se interprete mediante una relación de equivalencia y satisfaga los axiomas de sustitución de la igualdad puede reducirse a una interpretación elementalmente equivalente en un subconjunto del dominio original. Por tanto, hay poca generalidad adicional en el estudio de modelos no normales. En segundo lugar, si se consideran modelos no normales, entonces toda teoría consistente tiene un modelo infinito; esto afecta las declaraciones de resultados como el teorema de Löwenheim-Skolem , que generalmente se expresan bajo el supuesto de que solo se consideran modelos normales.
Una generalización de la lógica de primer orden considera lenguajes con más de un tipo de variables. La idea es que diferentes tipos de variables representan diferentes tipos de objetos. Se puede cuantificar todo tipo de variables; por lo tanto, una interpretación para un lenguaje de muchos tipos tiene un dominio separado para cada uno de los tipos de variables (hay una colección infinita de variables de cada uno de los diferentes tipos). Los símbolos de funciones y relaciones, además de tener aridades, se especifican de manera que cada uno de sus argumentos debe provenir de un determinado género.
Un ejemplo de lógica múltiple es la geometría euclidiana plana [ se necesita aclaración ] . Hay dos tipos; puntos y rectas. Hay un símbolo de relación de igualdad para puntos, un símbolo de relación de igualdad para líneas y una relación de incidencia binaria E que toma una variable de punto y una variable de línea. La interpretación prevista de este lenguaje tiene el rango de variables puntuales sobre todos los puntos en el plano euclidiano , el rango de variables lineales sobre todas las líneas en el plano y la relación de incidencia E ( p , l ) se cumple si y solo si el punto p está en línea yo .
Un lenguaje formal para la lógica de predicados de orden superior se parece mucho a un lenguaje formal para la lógica de primer orden. La diferencia es que ahora existen muchos tipos diferentes de variables. Algunas variables corresponden a elementos del dominio, como en la lógica de primer orden. Otras variables corresponden a objetos de tipo superior: subconjuntos del dominio, funciones del dominio, funciones que toman un subconjunto del dominio y devuelven una función del dominio a subconjuntos del dominio, etc. Todos estos tipos de variables pueden ser cuantificado.
Hay dos tipos de interpretaciones comúnmente empleadas para la lógica de orden superior. La semántica completa requiere que, una vez que se satisface el dominio del discurso, las variables de orden superior abarquen todos los elementos posibles del tipo correcto (todos los subconjuntos del dominio, todas las funciones del dominio hacia sí mismo, etc.). Por tanto, la especificación de una interpretación completa es la misma que la especificación de una interpretación de primer orden. La semántica de Henkin , que es esencialmente semántica de primer orden con clasificación múltiple, requiere que la interpretación especifique un dominio separado para cada tipo de variable de orden superior. Así, una interpretación en la semántica de Henkin incluye un dominio D , una colección de subconjuntos de D , una colección de funciones de D a D , etc. La relación entre estas dos semánticas es un tema importante en la lógica de orden superior.
Las interpretaciones de la lógica proposicional y la lógica de predicados descritas anteriormente no son las únicas interpretaciones posibles. En particular, existen otros tipos de interpretaciones que se utilizan en el estudio de la lógica no clásica (como la lógica intuicionista ), y en el estudio de la lógica modal.
Las interpretaciones utilizadas para estudiar la lógica no clásica incluyen modelos topológicos, modelos con valores booleanos y modelos de Kripke . La lógica modal también se estudia utilizando modelos de Kripke.
Muchos lenguajes formales están asociados con una interpretación particular que se utiliza para motivarlos. Por ejemplo, la firma de primer orden para la teoría de conjuntos incluye sólo una relación binaria, ∈, que pretende representar la pertenencia a un conjunto, y el dominio del discurso en una teoría de primer orden de los números naturales pretende ser el conjunto de números naturales. números.
La interpretación pretendida se denomina modelo estándar (término introducido por Abraham Robinson en 1960). [9] En el contexto de la aritmética de Peano , consta de los números naturales con sus operaciones aritméticas ordinarias. Todos los modelos que son isomorfos al que acabamos de dar también se denominan estándar; Todos estos modelos satisfacen los axiomas de Peano . También existen modelos no estándar de los axiomas de Peano (versión de primer orden) , que contienen elementos no correlacionados con ningún número natural.
Si bien la interpretación pretendida no puede tener indicación explícita en las reglas sintácticas estrictamente formales , afecta naturalmente a la elección de las reglas de formación y transformación del sistema sintáctico. Por ejemplo, los signos primitivos deben permitir la expresión de los conceptos que se van a modelar; las fórmulas oracionales se eligen de manera que sus contrapartes en la interpretación prevista sean oraciones declarativas significativas ; las oraciones primitivas deben aparecer como oraciones verdaderas en la interpretación; Las reglas de inferencia deben ser tales que, si la oración es directamente derivable de una oración , entonces resulte ser una oración verdadera, con implicación de significado , como es habitual. Estos requisitos garantizan que todas las frases demostrables también sean ciertas. [10]
La mayoría de los sistemas formales tienen muchos más modelos de los que estaban previstos (la existencia de modelos no estándar es un ejemplo). Cuando hablamos de 'modelos' en las ciencias empíricas , queremos decir, si queremos que la realidad sea un modelo de nuestra ciencia, hablar de un modelo previsto . Un modelo en las ciencias empíricas es una interpretación descriptiva objetivamente verdadera (o en otros contextos: una interpretación arbitraria no intencionada utilizada para aclarar dicha interpretación descriptiva objetivamente verdadera). Todos los modelos son interpretaciones que tienen el mismo dominio del discurso. como el previsto, pero otras asignaciones para constantes no lógicas . [11] [ página necesaria ]
Dado un sistema formal simple (a éste lo llamaremos ) cuyo alfabeto α consta sólo de tres símbolos y cuya regla de formación para fórmulas es:
El esquema de axioma único de es:
Una prueba formal se puede construir de la siguiente manera:
En este ejemplo, el teorema producido " " puede interpretarse en el sentido de "Uno más tres es igual a cuatro". Una interpretación diferente sería leerlo al revés como "Cuatro menos tres es igual a uno". [12] [ página necesaria ]
Existen otros usos del término “interpretación” que se utilizan comúnmente, que no se refieren a la asignación de significados a lenguajes formales.
En teoría de modelos , se dice que una estructura A interpreta una estructura B si hay un subconjunto D definible de A , y relaciones y funciones definibles en D , de modo que B es isomorfa a la estructura con dominio D y estas funciones y relaciones. En algunos entornos, no se utiliza el dominio D , sino el módulo D , una relación de equivalencia definible en A. Para obtener información adicional, consulte Interpretación (teoría de modelos) .
Se dice que una teoría T interpreta otra teoría S si existe una extensión finita por definiciones T ′ de T tal que S está contenido en T ′.
![{\displaystyle [\forall y(y=y)\lor \exists x(x=x)]\equiv \exists x[\forall y(y=y)\lor x=x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1103d5e6440cb56fa1c1cfeb394b2f4306fc9ae3)
