La desigualdad de Chebyshev

Limitada a la probabilidad de que una variable aleatoria esté lejos de su media

En teoría de la probabilidad , la desigualdad de Chebyshev (también llamada desigualdad de Bienaymé-Chebyshev ) proporciona un límite superior a la probabilidad de desviación de una variable aleatoria (con varianza finita) de su media. Más específicamente, la probabilidad de que una variable aleatoria se desvíe de su media en más de lo máximo es , donde es cualquier constante positiva. ${\displaystyle k\sigma }$ ${\displaystyle 1/k^{2}}$ ${\displaystyle k}$

En estadística, la regla a menudo se llama teorema de Chebyshev, sobre el rango de desviaciones estándar alrededor de la media. La desigualdad tiene gran utilidad porque se puede aplicar a cualquier distribución de probabilidad en la que se definan la media y la varianza. Por ejemplo, puede usarse para demostrar la ley débil de los números grandes .

Su uso práctico es similar a la regla 68–95–99,7 , que se aplica sólo a distribuciones normales . La desigualdad de Chebyshev es más general y establece que un mínimo de sólo el 75% de los valores debe estar dentro de dos desviaciones estándar de la media y el 88,89% dentro de tres desviaciones estándar para una amplia gama de distribuciones de probabilidad diferentes . ^{[1] [2]}

El término desigualdad de Chebyshev también puede referirse a la desigualdad de Markov , especialmente en el contexto del análisis. Están estrechamente relacionadas, y algunos autores se refieren a la desigualdad de Markov como "la primera desigualdad de Chebyshev" y a otra similar a la que se hace referencia en esta página como "la segunda desigualdad de Chebyshev".

La desigualdad de Chebyshev es estricta en el sentido de que para cada constante positiva elegida, existe una variable aleatoria tal que la desigualdad es de hecho una igualdad. ^[3]

Historia

El teorema lleva el nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev , aunque fue formulado por primera vez por su amiga y colega Irénée-Jules Bienaymé . ^{[4] : 98} El teorema fue demostrado por primera vez por Bienaymé en 1853 ^[5] y de manera más general demostrado por Chebyshev en 1867. ^{[6] [7]} Su alumno Andrey Markov proporcionó otra prueba en su doctorado de 1884. tesis. ^[8]

Declaración

La desigualdad de Chebyshev generalmente se establece para variables aleatorias , pero se puede generalizar a una afirmación sobre espacios de medida .

declaración probabilística

Sea X (integrable) una variable aleatoria con varianza finita distinta de cero σ ^{2 (y, por lo tanto,} valor esperado finito μ ). ^[9] Entonces, para cualquier número real k > 0 ,

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

Sólo el caso es útil. Cuando el lado derecho y la desigualdad son triviales ya que todas las probabilidades son ≤ 1. ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle k\leq 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}\geq 1}$

Como ejemplo, el uso muestra que los valores de probabilidad que se encuentran fuera del intervalo no exceden . De manera equivalente, implica que la probabilidad de que los valores se encuentren dentro del intervalo (es decir, su "cobertura" ) es al menos . ${\displaystyle k={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Debido a que se puede aplicar a distribuciones completamente arbitrarias siempre que tengan una media finita y una varianza conocidas, la desigualdad generalmente da un límite pobre en comparación con lo que podría deducirse si se conocieran más aspectos sobre la distribución involucrada.

Declaración de teoría de la medida

Sea ( X , Σ, μ) un espacio de medida y sea f una función medible de valor real extendida definida en X. Entonces, para cualquier número real t > 0 y 0 < p < ∞, ^[10]

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{p}}\int _{|f|\geq t}|f|^{p}\,d\mu .}$

De manera más general, si g es una función medible extendida de valor real, no negativa y no decreciente, entonces : ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle g(t)\neq 0}$

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

La declaración anterior sigue definiendo como si y de otra manera. ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle |x|^{p}}$ ${\displaystyle x\geq t}$ ${\displaystyle 0}$

Ejemplo

Supongamos que seleccionamos al azar un artículo de revista de una fuente con un promedio de 1000 palabras por artículo, con una desviación estándar de 200 palabras. Entonces podemos inferir que la probabilidad de que tenga entre 600 y 1400 palabras (es decir, dentro de las desviaciones estándar de la media) debe ser al menos del 75%, porque no hay más que una probabilidad de estar fuera de ese rango, según la desigualdad de Chebyshev. Pero si además sabemos que la distribución es normal , podemos decir que hay un 75% de posibilidades de que el recuento de palabras esté entre 770 y 1230 (que es un límite aún más estricto). ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle 1/k^{2}=1/4}$

Nitidez de los límites

Como se muestra en el ejemplo anterior, el teorema normalmente proporciona límites bastante vagos. Sin embargo, estos límites en general no pueden mejorarse (siguen siendo válidos para distribuciones arbitrarias). Los límites son nítidos para el siguiente ejemplo: para cualquier k  ≥ 1,

${\displaystyle X={\begin{cases}-1,&{\text{with probability }}{\frac {1}{2k^{2}}}\\0,&{\text{with probability }}1-{\frac {1}{k^{2}}}\\1,&{\text{with probability }}{\frac {1}{2k^{2}}}\end{cases}}}$

Para esta distribución, la media μ = 0 y la desviación estándar σ =1/k , entonces

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr(|X|\geq 1)={\frac {1}{k^{2}}}.}$

La desigualdad de Chebyshev es una igualdad precisamente para aquellas distribuciones que son una transformación lineal de este ejemplo.

Prueba

La desigualdad de Markov establece que para cualquier variable aleatoria Y de valor real y cualquier número positivo a , tenemos Pr(| Y | ≥ a ) ≤ E(| Y |)/ a . Una forma de probar la desigualdad de Chebyshev es aplicar la desigualdad de Markov a la variable aleatoria Y = ( X − μ ) ² con a = ( kσ ) ² :

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\Pr((X-\mu )^{2}\geq k^{2}\sigma ^{2})\leq {\frac {\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

También se puede demostrar directamente utilizando expectativa condicional :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]\\[5pt]&=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}\mid k\sigma \leq |X-\mu |]\Pr[k\sigma \leq |X-\mu |]+\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}\mid k\sigma >|X-\mu |]\Pr[k\sigma >|X-\mu |]\\[5pt]&\geq (k\sigma )^{2}\Pr[k\sigma \leq |X-\mu |]+0\cdot \Pr[k\sigma >|X-\mu |]\\[5pt]&=k^{2}\sigma ^{2}\Pr[k\sigma \leq |X-\mu |]\end{aligned}}}$

La desigualdad de Chebyshev se obtiene dividiendo por k ² σ ² .

Esta prueba también muestra por qué los límites son bastante flexibles en casos típicos: la expectativa condicional sobre el evento donde | X  −  µ | <  kσ se descarta y el límite inferior de k ² σ ² en el evento | X  −  µ | ≥  kσ puede ser bastante pobre.

Extensiones

Se han desarrollado varias extensiones de la desigualdad de Chebyshev.

La desigualdad de Selberg

Selberg derivó una generalización a intervalos arbitrarios. ^[11] Supongamos que X es una variable aleatoria con media μ y varianza σ ² . La desigualdad de Selberg establece ^[12] que si , ${\displaystyle \beta \geq \alpha \geq 0}$

${\displaystyle \Pr(X\in [\mu -\alpha ,\mu +\beta ])\geq {\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+\sigma ^{2}}}&{\text{if }}\alpha (\beta -\alpha )\geq 2\sigma ^{2}\\{\frac {4\alpha \beta -4\sigma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}&{\text{if }}2\alpha \beta \geq 2\sigma ^{2}\geq \alpha (\beta -\alpha )\\0&\sigma ^{2}\geq \alpha \beta \end{cases}}}$

Cuando , esto se reduce a la desigualdad de Chebyshev. Se sabe que estos son los mejores límites posibles. ^[13] ${\displaystyle \alpha =\beta }$

Vector de dimensión finita

La desigualdad de Chebyshev se extiende naturalmente al entorno multivariado, donde se tienen n variables aleatorias Xi con media μ _{i y} varianza σ _i ² . Entonces se cumple la siguiente desigualdad.

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})^{2}\geq k^{2}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$

Esto se conoce como desigualdad de Birnbaum-Raymond-Zuckerman en honor a los autores que la demostraron en dos dimensiones. ^[14] Este resultado se puede reescribir en términos de vectores X = ( X ₁ , X ₂ , ...) con media μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ...) , desviación estándar σ = ( σ ₁ , σ ₂ , ...), en la norma euclidiana || ⋅ || . ^[15]

${\displaystyle \Pr(\|X-\mu \|\geq k\|\sigma \|)\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

También se puede obtener una desigualdad de Chebyshev de dimensión infinita similar . Chen también ha deducido una segunda desigualdad relacionada. ^[16] Sea n la dimensión del vector estocástico X y sea E( X ) la media de X. Sea S la matriz de covarianza y k > 0 . Entonces

${\displaystyle \Pr \left((X-\operatorname {E} (X))^{T}S^{-1}(X-\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

donde Y ^T es la transpuesta de Y . La desigualdad se puede escribir en términos de la distancia de Mahalanobis como

${\displaystyle \Pr \left(d_{S}^{2}(X,\operatorname {E} (X))<k\right)\geq 1-{\frac {n}{k}}}$

donde la distancia de Mahalanobis basada en S está definida por

${\displaystyle d_{S}(x,y)={\sqrt {(x-y)^{T}S^{-1}(x-y)}}}$

Navarro ^[17] demostró que estos límites son nítidos, es decir, son los mejores límites posibles para esas regiones cuando solo conocemos la media y la matriz de covarianza de X.

Stellato et al. ^[18] demostraron que esta versión multivariada de la desigualdad de Chebyshev puede derivarse analíticamente fácilmente como un caso especial de Vandenberghe et al. ^[19] donde el límite se calcula resolviendo un programa semidefinido (SDP).

correlación conocida

Si las variables son independientes esta desigualdad puede agudizarse. ^[20]

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}\leq k_{i}\right)\geq \prod _{i=1}^{n}\left(1-{\frac {1}{k_{i}^{2}}}\right)}$

Berge derivó una desigualdad para dos variables correlacionadas X ₁ , X ₂ . ^[21] Sea ρ el coeficiente de correlación entre X ₁ y X ₂ y sea σ _i ² la varianza de X _i . Entonces

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{2}\left[{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}<k\right]\right)\geq 1-{\frac {1+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{k^{2}}}.}$

Este resultado se puede afinar para tener límites diferentes para las dos variables aleatorias ^[22] y tener límites asimétricos, como en la desigualdad de Selberg. ^[23]

Olkin y Pratt derivaron una desigualdad para n variables correlacionadas. ^[24]

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac {|X_{i}-\mu _{i}|}{\sigma _{i}}}<k_{i}\right)\geq 1-{\frac {1}{n^{2}}}\left({\sqrt {u}}+{\sqrt {n-1}}{\sqrt {n\sum _{i}{\frac {1}{k_{i}^{2}}}-u}}\right)^{2}}$

donde la suma se toma sobre las n variables y

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{k_{i}^{2}}}+2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j<i}{\frac {\rho _{ij}}{k_{i}k_{j}}}}$

donde ρ _ij es la correlación entre X _i y X _j .

Posteriormente, Godwin generalizó la desigualdad de Olkin y Pratt. ^[25]

Momentos más altos

Mitzenmacher y Upfal ^[26] señalan que al aplicar la desigualdad de Markov a la variable no negativa , se puede obtener una familia de límites de cola ${\displaystyle |X-\operatorname {E} (X)|^{n}}$

${\displaystyle \Pr \left(|X-\operatorname {E} (X)|\geq k\operatorname {E} (|X-\operatorname {E} (X)|^{n})^{\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {1}{k^{n}}},\qquad k>0,n\geq 2.}$

Para n = 2 obtenemos la desigualdad de Chebyshev. Para k ≥ 1, n > 4 y suponiendo que exista el nésimo momento, este límite es más estricto que ^la desigualdad de Chebyshev. ^{[ cita necesaria ]} Esta estrategia, llamada método de los momentos , se utiliza a menudo para demostrar los límites de la cola.

momento exponencial

Una desigualdad relacionada a veces conocida como desigualdad exponencial de Chebyshev ^[27] es la desigualdad

${\displaystyle \Pr(X\geq \varepsilon )\leq e^{-t\varepsilon }\operatorname {E} \left(e^{tX}\right),\qquad t>0.}$

Sea K ( t ) la función generadora acumulativa ,

${\displaystyle K(t)=\log \left(\operatorname {E} \left(e^{tx}\right)\right).}$

Tomando la transformación de Legendre-Fenchel ^{[ se necesita aclaración ]} de K ( t ) y usando la desigualdad exponencial de Chebyshev tenemos

${\displaystyle -\log(\Pr(X\geq \varepsilon ))\geq \sup _{t}(t\varepsilon -K(t)).}$

Esta desigualdad se puede utilizar para obtener desigualdades exponenciales para variables ilimitadas. ^[28]

variables acotadas

Si P( x ) tiene soporte finito basado en el intervalo [ a , b ] , sea M = max(| a |, | b |) donde | x | es el valor absoluto de x . Si la media de P( x ) es cero, entonces para todo k > 0 ^[29]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})-k^{r}}{M^{r}}}\leq \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{r})}{k^{r}}}.}$

La segunda de estas desigualdades con r = 2 es la cota de Chebyshev. El primero proporciona un límite inferior para el valor de P( x ).

muestras finitas

Caso univariado

Saw et al extendieron la desigualdad de Chebyshev a casos en los que la media y la varianza de la población no se conocen y pueden no existir, pero la media muestral y la desviación estándar muestral de N muestras deben emplearse para limitar el valor esperado de un nuevo dibujo de la misma distribución. . ^[30] La siguiente versión más simple de esta desigualdad la da Kabán. ^[31]

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {N+1}{N}}\left({\frac {N-1}{k^{2}}}+1\right)\right\rfloor }$

donde X es una variable aleatoria de la que hemos muestreado N veces, m es la media muestral, k es una constante y s es la desviación estándar muestral.

Esta desigualdad se mantiene incluso cuando los momentos poblacionales no existen y cuando la muestra está débilmente distribuida de manera intercambiable ; este criterio se cumple para el muestreo aleatorio. Konijn ha determinado una tabla de valores para la desigualdad Saw-Yang-Mo para tamaños de muestra finitos ( N <100). ^[32] La tabla permite calcular varios intervalos de confianza para la media, basados ​​en múltiplos, C, del error estándar de la media calculado a partir de la muestra. Por ejemplo, Konijn muestra que para N  = 59, el intervalo de confianza del 95 por ciento para la media m es ( m − Cs , m + Cs ) donde C = 4,447 × 1,006 = 4,47 (esto es 2,28 veces mayor que el valor encontrado en el supuesto de normalidad que muestra la pérdida de precisión resultante de la ignorancia de la naturaleza precisa de la distribución).

En cambio, se puede derivar una desigualdad equivalente en términos de la media muestral, ^[31]

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq km)\leq {\frac {N-1}{N}}{\frac {1}{k^{2}}}{\frac {s^{2}}{m^{2}}}+{\frac {1}{N}}.}$

Konijn ha determinado una tabla de valores para la desigualdad Saw-Yang-Mo para tamaños de muestra finitos ( N <100). ^[32]

Para N fijo y m grande , la desigualdad Saw-Yang-Mo es aproximadamente ^[33]

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}}.}$

Beasley et al han sugerido una modificación de esta desigualdad ^[33]

${\displaystyle \Pr(|X-m|\geq ks)\leq {\frac {1}{k^{2}(N+1)}}.}$

En las pruebas empíricas esta modificación es conservadora pero parece tener un poder estadístico bajo. Su base teórica permanece actualmente inexplorada.

Dependencia del tamaño de la muestra

Los límites que dan estas desigualdades en una muestra finita son menos estrictos que los que da la desigualdad de Chebyshev para una distribución. Para ilustrar esto, supongamos que el tamaño de la muestra sea N = 100 y k = 3. La desigualdad de Chebyshev establece que, como máximo, aproximadamente el 11,11% de la distribución estará al menos a tres desviaciones estándar de la media. La versión de Kabán de la desigualdad para una muestra finita establece que como máximo aproximadamente el 12,05% de la muestra se encuentra fuera de estos límites. La dependencia de los intervalos de confianza del tamaño de la muestra se ilustra con más detalle a continuación.

Para N = 10, el intervalo de confianza del 95% es de aproximadamente ±13,5789 desviaciones estándar.

Para N = 100, el intervalo de confianza del 95% es aproximadamente ±4,9595 desviaciones estándar; el intervalo de confianza del 99% es aproximadamente ±140,0 desviaciones estándar.

Para N = 500, el intervalo de confianza del 95% es aproximadamente ±4,5574 desviaciones estándar; el intervalo de confianza del 99% es aproximadamente ±11,1620 desviaciones estándar.

Para N = 1000, los intervalos de confianza del 95 % y del 99 % son aproximadamente ±4,5141 y aproximadamente ±10,5330 desviaciones estándar, respectivamente.

La desigualdad de Chebyshev para la distribución da intervalos de confianza del 95% y del 99% de aproximadamente ±4,472 desviaciones estándar y ±10 desviaciones estándar respectivamente.

La desigualdad de Samuelson

Aunque la desigualdad de Chebyshev es la mejor cota posible para una distribución arbitraria, esto no es necesariamente cierto para muestras finitas. La desigualdad de Samuelson establece que todos los valores de una muestra deben estar dentro de √ N  − 1 desviaciones estándar muestrales de la media.

En comparación, la desigualdad de Chebyshev establece que toda la muestra, excepto una fracción 1/N, estará dentro de √ N desviaciones estándar de la media. Como hay N muestras, esto significa que ninguna muestra quedará fuera de √ N desviaciones estándar de la media, lo cual es peor que la desigualdad de Samuelson. Sin embargo, el beneficio de la desigualdad de Chebyshev es que se puede aplicar de manera más general para obtener límites de confianza para rangos de desviaciones estándar que no dependen del número de muestras.

Semivarianzas

Un método alternativo para obtener límites más definidos es mediante el uso de semivarianzas (varianzas parciales). Las semivarianzas superior ( σ ₊ ² ) e inferior ( σ ₋ ² ) se definen como

${\displaystyle \sigma _{+}^{2}={\frac {\sum _{x>m}(x-m)^{2}}{n-1}},}$

${\displaystyle \sigma _{-}^{2}={\frac {\sum _{x<m}(m-x)^{2}}{n-1}},}$

donde m es la media aritmética de la muestra y n es el número de elementos de la muestra.

La varianza de la muestra es la suma de las dos semivarianzas:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{+}^{2}+\sigma _{-}^{2}.}$

En términos de la semivarianza inferior, se puede escribir la desigualdad de Chebyshev ^[34]

${\displaystyle \Pr(x\leq m-a\sigma _{-})\leq {\frac {1}{a^{2}}}.}$

Poniendo

${\displaystyle a={\frac {k\sigma }{\sigma _{-}}}.}$

La desigualdad de Chebyshev ahora se puede escribir.

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\sigma _{-}^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

También se puede derivar un resultado similar para la semivarianza superior.

si ponemos

${\displaystyle \sigma _{u}^{2}=\max(\sigma _{-}^{2},\sigma _{+}^{2}),}$

La desigualdad de Chebyshev se puede escribir.

${\displaystyle \Pr(|x\leq m-k\sigma |)\leq {\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\sigma _{u}^{2}}{\sigma ^{2}}}.}$

Debido a que σ _u ² ≤ σ ² , el uso de la semivarianza agudiza la desigualdad original.

Si se sabe que la distribución es simétrica, entonces

${\displaystyle \sigma _{+}^{2}=\sigma _{-}^{2}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$

y

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {\frac {1}{2k^{2}}}.}$

Este resultado concuerda con el obtenido utilizando variables estandarizadas.

Nota

Se ha descubierto que la desigualdad con la semivarianza más baja es útil para estimar el riesgo de caída en las finanzas y la agricultura. ^{[34] [35] [36]}

Caso multivariado

Stellato et al. ^[18] simplificó la notación y amplió la desigualdad empírica de Chebyshev de Saw et al. ^[30] al caso multivariado. Sea una variable aleatoria y sea . Extraemos muestras iid de denotadas como . Con base en las primeras muestras, definimos la media empírica como y la covarianza empírica insesgada como . Si no es singular, entonces para todos entonces ${\textstyle \xi \in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$ ${\textstyle N\in \mathbb {Z} _{\geq n_{\xi }}}$ ${\textstyle N+1}$ ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle \xi ^{(1)},\dots ,\xi ^{(N)},\xi ^{(N+1)}\in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle \mu _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\xi ^{(i)}}$ ${\textstyle \Sigma _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\xi ^{(i)}-\mu _{N})(\xi ^{(i)}-\mu _{N})^{\top }}$ ${\displaystyle \Sigma _{N}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\\[8pt]\leq {}&\min \left\{1,{\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {n_{\xi }(N+1)(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\rfloor \right\}.\end{aligned}}}$

Observaciones

En el caso univariado, es decir , esta desigualdad corresponde a la de Saw et al. ^[30] Además, el lado derecho se puede simplificar delimitando superiormente la función suelo mediante su argumento. ${\textstyle n_{\xi }=1}$

${\displaystyle P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\leq \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\}.}$

Como , el lado derecho tiende a lo que corresponde a la desigualdad multivariada de Chebyshev sobre elipsoides formados según y centrados en . ${\textstyle N\to \infty }$ ${\textstyle \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }}{\lambda ^{2}}}\right\}}$ ${\textstyle \Sigma }$ ${\textstyle \mu }$

Límites más agudos

La desigualdad de Chebyshev es importante debido a su aplicabilidad a cualquier distribución. Como resultado de su generalidad, es posible que no proporcione (y generalmente no proporciona) un límite tan definido como los métodos alternativos que pueden usarse si se conoce la distribución de la variable aleatoria. Para mejorar la nitidez de los límites proporcionados por la desigualdad de Chebyshev se han desarrollado varios métodos; para una revisión ver por ej. ^{[12] [37]}

La desigualdad de Cantelli

La desigualdad de Cantelli ^[38] debida a Francesco Paolo Cantelli establece que para una variable aleatoria real ( X ) con media ( μ ) y varianza ( σ ² )

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+a^{2}}}}$

donde a ≥ 0.

Esta desigualdad se puede utilizar para demostrar una variante de una cola de la desigualdad de Chebyshev con k > 0 ^[39]

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.}$

Se sabe que el límite de la variante de una cola es agudo. Para ver esto considere la variable aleatoria X que toma los valores

${\displaystyle X=1}$con probabilidad ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{1+\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle X=-\sigma ^{2}}$con probabilidad ${\displaystyle {\frac {1}{1+\sigma ^{2}}}.}$

Entonces E( X ) = 0 y E( X ² ) = σ ² y P( X < 1) = 1 / (1 + σ ² ).

Una aplicación: distancia entre la media y la mediana

La variante unilateral se puede utilizar para probar la proposición de que para distribuciones de probabilidad que tienen un valor esperado y una mediana , la media y la mediana nunca pueden diferir entre sí en más de una desviación estándar . Para expresar esto en símbolos, sean μ , ν y σ respectivamente la media, la mediana y la desviación estándar. Entonces

${\displaystyle \left|\mu -\nu \right|\leq \sigma .}$

No es necesario suponer que la varianza es finita porque esta desigualdad es trivialmente cierta si la varianza es infinita.

La prueba es como sigue. Establecer k  = 1 en el enunciado de la desigualdad unilateral da:

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq \sigma )\leq {\frac {1}{2}}\implies \Pr(X\geq \mu +\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.}$

Cambiando el signo de X y de μ , obtenemos

${\displaystyle \Pr(X\leq \mu -\sigma )\leq {\frac {1}{2}}.}$

Como la mediana es por definición cualquier número real  m que satisfaga las desigualdades

${\displaystyle \Pr(X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ and }}\Pr(X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}}$

esto implica que la mediana se encuentra dentro de una desviación estándar de la media. También existe una prueba que utiliza la desigualdad de Jensen .

La desigualdad de Bhattacharyya

Bhattacharyya ^[40] amplió la desigualdad de Cantelli utilizando el tercer y cuarto momento de la distribución.

Sea y sea la varianza. Deja y . ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma =E[X^{3}]/\sigma ^{3}}$ ${\displaystyle \kappa =E[X^{4}]/\sigma ^{4}}$

si entonces ${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -\gamma ^{2}-1}{(\kappa -\gamma ^{2}-1)(1+k^{2})+(k^{2}-k\gamma -1)}}.}$

La necesidad de puede requerir que sea razonablemente grande. ${\displaystyle k^{2}-k\gamma -1>0}$ ${\displaystyle k}$

En el caso de que esto se simplifique a ${\displaystyle E[X^{3}]=0}$

${\displaystyle \Pr(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}\quad {\text{for }}k>1.}$

Dado que para cerca de 1, este límite mejora ligeramente con respecto al límite de Cantelli como . ${\displaystyle {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\kappa (k-1)}{2(\kappa -1)}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {k-1}{2}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$ ${\displaystyle \kappa >1}$

gana un factor 2 sobre la desigualdad de Chebyshev.

La desigualdad de Gauss

En 1823, Gauss demostró que para una distribución con una moda única en cero, ^[41]

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq {\frac {4\operatorname {E} (X^{2})}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\geq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}),}$

${\displaystyle \Pr(|X|\geq k)\leq 1-{\frac {k}{{\sqrt {3}}\operatorname {E} (X^{2})}}\quad {\text{if}}\quad k^{2}\leq {\frac {4}{3}}\operatorname {E} (X^{2}).}$

Desigualdad de Vysochanskij-Petunin

La desigualdad de Vysochanskij-Petunin generaliza la desigualdad de Gauss, que sólo es válida para la desviación de la moda de una distribución unimodal, para la desviación de la media o, más generalmente, de cualquier centro. ^[42] Si X es una distribución unimodal con media μ y varianza σ ² , entonces la desigualdad establece que

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{9k^{2}}}\quad {\text{if}}\quad k\geq {\sqrt {8/3}}=1.633.}$

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {4}{3k^{2}}}-{\frac {1}{3}}\quad {\text{if}}\quad k\leq {\sqrt {8/3}}.}$

Para distribuciones unimodales simétricas, la mediana y la moda son iguales, por lo que tanto la desigualdad de Vysochanskij-Petunin como la desigualdad de Gauss se aplican al mismo centro. Además, para distribuciones simétricas, se pueden obtener límites unilaterales observando que

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )=\Pr(X-\mu \leq -k\sigma )={\frac {1}{2}}\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma ).}$

La fracción adicional de presente en estos límites de cola conduce a mejores intervalos de confianza que la desigualdad de Chebyshev. Por ejemplo, para cualquier distribución unimodal simétrica, la desigualdad de Vysochanskij-Petunin establece que 4/(9 x 3^2) = 4/81 ≈ 4,9% de la distribución se encuentra fuera de 3 desviaciones estándar de la moda. ${\displaystyle 4/9}$

Límites para distribuciones específicas

DasGupta ha demostrado que si se sabe que la distribución es normal ^[43]

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{3k^{2}}}.}$

De la desigualdad de DasGupta se deduce que para una distribución normal al menos el 95% se encuentra dentro de aproximadamente 2,582 desviaciones estándar de la media. Esto es menos nítido que la cifra real (aproximadamente 1,96 desviaciones estándar de la media).

• DasGupta ha determinado un conjunto de mejores límites posibles para una distribución normal de esta desigualdad. ^[43]
• Steliga y Szynal han ampliado estos límites a la distribución de Pareto . ^[44]
• Grechuk et al. desarrolló un método general para derivar los mejores límites posibles en la desigualdad de Chebyshev para cualquier familia de distribuciones y cualquier medida de riesgo de desviación en lugar de la desviación estándar. En particular, derivaron la desigualdad de Chebyshev para distribuciones con densidades log-cóncavas . ^[45]

Desigualdades relacionadas

También se conocen varias otras desigualdades relacionadas.

Desigualdad de Paley-Zygmund

La desigualdad de Paley-Zygmund da un límite inferior a las probabilidades de cola, a diferencia de la desigualdad de Chebyshev que da un límite superior. ^[46] Aplicándolo al cuadrado de una variable aleatoria, obtenemos

${\displaystyle \Pr(|Z|>\theta {\sqrt {E[Z^{2}]}})\geq {\frac {(1-\theta ^{2})^{2}E[Z^{2}]^{2}}{E[Z^{4}]}}.}$

La transformación de Haldane

Un uso de la desigualdad de Chebyshev en aplicaciones es crear intervalos de confianza para variables con una distribución desconocida. Haldane señaló, ^[47] utilizando una ecuación derivada de Kendall , ^[48] que si una variable ( x ) tiene una media cero, varianza unitaria y asimetría finita ( γ ) y curtosis ( κ ), entonces la variable se puede convertir en una Puntuación estándar distribuida normalmente ( z ):

${\displaystyle z=x-{\frac {\gamma }{6}}(x^{2}-1)+{\frac {x}{72}}[2\gamma ^{2}(4x^{2}-7)-3\kappa (x^{2}-3)]+\cdots }$

Esta transformación puede ser útil como alternativa a la desigualdad de Chebyshev o como complemento de ella para derivar intervalos de confianza para variables con distribuciones desconocidas.

Si bien esta transformación puede ser útil para distribuciones moderadamente sesgadas y/o kurtóticas, su rendimiento es deficiente cuando la distribución es marcadamente sesgada y/o kurtótica.

Él, Zhang y la desigualdad de Zhang.

Para cualquier colección de n variables aleatorias independientes no negativas X _i con expectativa 1 ^[49]

${\displaystyle \Pr \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{n}}-1\geq {\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {7}{8}}.}$

Desigualdad integral de Chebyshev

Hay una segunda desigualdad (menos conocida) que también lleva el nombre de Chebyshev ^[50]

Si f , g  : [ a , b ] → R son dos funciones monótonas de la misma monotonicidad, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)g(x)\,dx\geq \left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\right]\left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!g(x)\,dx\right].}$

Si f y g son de monotonicidad opuesta, entonces la desigualdad anterior funciona a la inversa.

Esta desigualdad está relacionada con la desigualdad de Jensen , ^[51] la desigualdad de Kantorovich , ^[52] la desigualdad de Hermite-Hadamard ^[52] y la conjetura de Walter. ^[53]

Otras desigualdades

También hay otras desigualdades asociadas con Chebyshev:

• Desigualdad de la suma de Chebyshev
• Desigualdades de Chebyshev-Markov-Stieltjes

Notas

La Agencia de Protección Ambiental ha sugerido mejores prácticas para el uso de la desigualdad de Chebyshev para estimar intervalos de confianza. ^[54]

Ver también

• La desigualdad multidimensional de Chebyshev
• Desigualdad de concentración : un resumen de los límites finales de variables aleatorias.
• Expansión de Cornualles-Fisher
• La desigualdad de Eaton
• La desigualdad de Kolmogorov
• Prueba de la ley débil de los grandes números mediante la desigualdad de Chebyshev
• Teorema de Le Cam
• Desigualdad de Paley-Zygmund
• Desigualdad de Vysochanskiï-Petunin : un resultado más sólido aplicable a distribuciones de probabilidad unimodales
• Desigualdad de Lenglart
• Desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy

Referencias

1. Kvanli, Alan H.; Pavur, Robert J.; Keeling, Kellie B. (2006). Estadísticas gerenciales concisas. aprendizaje Cengage . págs. 81–82. ISBN 978-0-324-22388-0.
2. Chernick, Michael R. (2011). Los fundamentos de la bioestadística para médicos, enfermeras y clínicos. John Wiley e hijos . págs. 49–50. ISBN 978-0-470-64185-9.
3. "¿Término de error de la desigualdad de Chebyshev?". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 11 de diciembre de 2023 .
4. Knuth, Donald (1997). El arte de la programación informática: algoritmos fundamentales, volumen 1 (3ª ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-89683-1. Archivado desde el original el 26 de febrero de 2009 . Consultado el 1 de octubre de 2012 .
5. Bienaymé, I.-J. (1853). "Consideraciones sobre el descubrimiento de Laplace". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 37 : 309–324.
6. Chebichef, P. (1867). "Des valeurs moyennes". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 2. 12 : 177–184.
7. Routledge, Richard. La desigualdad de Chebyshev. Enciclopedia Británica.
8. Markov A. (1884) Sobre ciertas aplicaciones de fracciones continuas algebraicas, Ph.D. tesis, San Petersburgo
9. Feller, W., 1968. Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, vol. 1. p227 (Wiley, Nueva York).
10. Grafakos, Lucas (2004). Análisis de Fourier clásico y moderno . Pearson Education Inc. pág. 5.
11. Selberg, Henrik L. (1940). "Zwei Ungleichungen zur Ergänzung des Tchebycheffschen Lemmas" [Dos desigualdades que complementan el lema de Tchebycheff]. Skandinavisk Aktuarietidskrift (Revista actuarial escandinava) (en alemán). 1940 (3–4): 121–125. doi :10.1080/03461238.1940.10404804. ISSN  0346-1238. OCLC  610399869.
12. Godwin, HJ (septiembre de 1955). "Sobre las generalizaciones de la desigualdad de Tchebychef". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 50 (271): 923–945. doi :10.1080/01621459.1955.10501978. ISSN  0162-1459.
13. Conlon, J.; Dulá, JH "Una derivación e interpretación geométrica de la Desigualdad de Tchebyscheff" (PDF) . Consultado el 2 de octubre de 2012 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
14. Birnbaum, ZW; Raymond, J.; Zuckerman, SA (1947). "Una generalización de la desigualdad de Tshebyshev a dos dimensiones". Los anales de la estadística matemática . 18 (1): 70–79. doi : 10.1214/aoms/1177730493 . ISSN  0003-4851. SEÑOR  0019849. Zbl  0032.03402 . Consultado el 7 de octubre de 2012 .
15. Ferentinos, K (1982). "Sobre las desigualdades tipo Tchebycheff". Trabajos Estadıst Investigación Oper . 33 : 125-132. doi :10.1007/BF02888707. S2CID  123762564.
16. Xinjia Chen (2007). "Una nueva generalización de la desigualdad de Chebyshev para vectores aleatorios". arXiv : 0707.0805v2 [matemáticas.ST].
17. Jorge Navarro (2014). "¿Se pueden alcanzar los límites de la desigualdad multivariada de Chebyshev?". Cartas de Estadística y Probabilidad . 91 : 1–5. doi :10.1016/j.spl.2014.03.028.
18. Stellato, Bartolomeo; Parys, Bart PG Van; Goulart, Paul J. (31 de mayo de 2016). "Desigualdad multivariada de Chebyshev con media y varianza estimadas". El estadístico estadounidense . 71 (2): 123–127. arXiv : 1509.08398 . doi :10.1080/00031305.2016.1186559. ISSN  0003-1305. S2CID  53407286.
19. Vandenberghe, L.; Boyd, S.; Comandante, K. (1 de enero de 2007). "Límites generalizados de Chebyshev mediante programación semidefinida". Revisión SIAM . 49 (1): 52–64. Código Bib : 2007SIAMR..49...52V. CiteSeerX 10.1.1.126.9105 . doi :10.1137/S0036144504440543. ISSN  0036-1445. 
20. Kotz, Samuel ; Balakrishnan, N.; Johnson, Norman L. (2000). Distribuciones multivariadas continuas, volumen 1, modelos y aplicaciones (2ª ed.). Boston [ua]: Houghton Mifflin. ISBN 978-0-471-18387-7. Consultado el 7 de octubre de 2012 .
21. Bergé, PO (1938). "Una nota sobre una forma del teorema de Tchebycheff para dos variables". Biometrika . 29 (3/4): 405–406. doi :10.2307/2332015. JSTOR  2332015.
22. Lal DN (1955) Una nota sobre una forma de desigualdad de Tchebycheff para dos o más variables. Sankhya 15(3):317–320
23. Isii K. (1959) Sobre un método para generalizar la desigualdad de Tchebycheff. Ann Inst Stat Matemáticas 10: 65–88
24. Olkin, Ingram ; Pratt, John W. (1958). "Una desigualdad multivariada de Tchebycheff". Los anales de la estadística matemática . 29 (1): 226–234. doi : 10.1214/aoms/1177706720 . SEÑOR  0093865. Zbl  0085.35204.
25. Godwin HJ (1964) Desigualdades en funciones de distribución. Nueva York, Pub Hafner. Co.
26. Mitzenmacher, Michael ; Upfal, Eli (enero de 2005). Probabilidad y computación: algoritmos aleatorios y análisis probabilístico (Repr. ed.). Cambridge [ua]: Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN 978-0-521-83540-4. Consultado el 6 de octubre de 2012 .
27. Sección 2.1 Archivado el 30 de abril de 2015 en Wayback Machine.
28. Baranoski, Gladimir VG; Rokne, Jon G.; Xu, Guangwu (15 de mayo de 2001). "Aplicar la desigualdad exponencial de Chebyshev al cálculo no determinista de factores de forma". Revista de espectroscopia cuantitativa y transferencia radiativa . 69 (4): 199–200. Código Bib : 2001JQSRT..69..447B. doi :10.1016/S0022-4073(00)00095-9.(las referencias de este artículo están corregidas por Baranoski, Gladimir VG; Rokne, Jon G.; Guangwu Xu (15 de enero de 2002). "Corrigéndum a: 'Aplicación de la desigualdad exponencial de Chebyshev al cálculo no determinista de factores de forma'". Journal of Espectroscopia cuantitativa y transferencia radiativa . 72 (2): 199–200. Bibcode : 2002JQSRT..72..199B. doi : 10.1016/S0022-4073(01)00171-6 .)
29. Dufour (2003) Propiedades de momentos de variables aleatorias
30. Sierra, John G.; Yang, Mark CK; Mo, Tse Chin (1984). "Desigualdad de Chebyshev con media y varianza estimadas". El estadístico estadounidense . 38 (2): 130–2. doi :10.2307/2683249. ISSN  0003-1305. JSTOR  2683249.
31. Kabán, Ata (2012). "Detección no paramétrica de distancias sin sentido en datos de alta dimensión". Estadística y Computación . 22 (2): 375–85. doi :10.1007/s11222-011-9229-0. S2CID  6018114.
32. Konijn, Hendrik S. (febrero de 1987). "Intervalos de predicción sin distribución y otros". El estadístico estadounidense . 41 (1): 11-15. doi :10.2307/2684311. JSTOR  2684311.
33. Beasley, T. Mark; Página, Grier P.; Marca, Jaap PL; Gadbury, Gary L.; Mountz, John D.; Allison, David B. (enero de 2004). "La desigualdad de Chebyshev para pruebas no paramétricas con N y α pequeños en la investigación de microarrays". Revista de la Real Sociedad de Estadística . C (Estadística Aplicada). 53 (1): 95-108. doi : 10.1111/j.1467-9876.2004.00428.x . ISSN  1467-9876. S2CID  122678278.
34. Berck, Peter ; Hihn, Jairus M. (mayo de 1982). "Uso de la semivarianza para estimar reglas de seguridad primero". Revista Estadounidense de Economía Agrícola . 64 (2): 298–300. doi :10.2307/1241139. ISSN  0002-9092. JSTOR  1241139.
35. Nantell, Timothy J.; Price, Barbara (junio de 1979). "Una comparación analítica de las teorías del mercado de capitales de varianza y semivarianza". La Revista de Análisis Financiero y Cuantitativo . 14 (2): 221–42. doi :10.2307/2330500. JSTOR  2330500. S2CID  154652959.
36. Neave, Edwin H.; Ross, Michael N.; Yang, junio (2009). "Distinguir el potencial alcista del riesgo a la baja". Noticias de investigación de gestión . 32 (1): 26–36. doi :10.1108/01409170910922005. ISSN  0140-9174.
37. Salvaje, I. Richard. "Desigualdades de probabilidad del tipo Tchebycheff". Revista de Investigación de la Oficina Nacional de Normas-B. Matemáticas y Física Matemática B 65 (1961): 211-222
38. Cantelli F. (1910) Intorno ad un teorema fondamentale della teoria del rischio. Bolletino dell Associazione degli Attuari Italiani
39. Grimmett y Stirzaker, problema 7.11.9. Se pueden encontrar varias pruebas de este resultado en Chebyshev's Inequalities Archivado el 24 de febrero de 2019 en Wayback Machine por AG McDowell.
40. Bhattacharyya, BB (1987). "Desigualdad unilateral de Chebyshev cuando se conocen los primeros cuatro momentos". Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 16 (9): 2789–91. doi :10.1080/03610928708829540. ISSN  0361-0926.
41. Gauss CF Theoria Combinaciónis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae. Pars Prior. Parte posterior. Suplemento. Teoría de la combinación de observaciones menos sujetas a errores. Parte uno. La segunda parte. Suplemento. 1995. Traducido por GW Stewart. Serie Clásicos de Matemáticas Aplicadas, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia
42. Pukelsheim, Friedrich (mayo de 1994). "La regla de las tres sigma". El estadístico estadounidense . 48 (2): 88–91. doi :10.1080/00031305.1994.10476030. ISSN  0003-1305. S2CID  122587510.
43. DasGupta, A (2000). "Mejores constantes en las desigualdades de Chebychev con diversas aplicaciones". Métrica . 5 (1): 185-200. doi :10.1007/s184-000-8316-9. S2CID  121436601.
44. Steliga, Katarzyna; Szynal, Dominik (2010). "Sobre las desigualdades de tipo Markov" (PDF) . Revista Internacional de Matemática Pura y Aplicada . 58 (2): 137-152. ISSN  1311-8080 . Consultado el 10 de octubre de 2012 .
45. Grechuk, B., Molyboha, A., Zabarankin, M. (2010). Desigualdades de Chebyshev con medidas de desviación invariantes de la ley, probabilidad en ingeniería y ciencias de la información, 24 (1), 145-170.
46. Godwin HJ (1964) Desigualdades en funciones de distribución. (Capítulo 3) Nueva York, Hafner Pub. Co.
47. Haldane, JB (1952). "Pruebas sencillas de bimodalidad y bitangencialidad". Anales de la eugenesia . 16 (4): 359–364. doi :10.1111/j.1469-1809.1951.tb02488.x. PMID  14953132.
48. Kendall MG (1943) La teoría avanzada de la estadística, 1. Londres
49. Él, Simai; Zhang, Jiawei; Zhang, Shuzhong (2010). "Probabilidad límite de pequeña desviación: un enfoque del cuarto momento". Matemáticas de la Investigación de Operaciones . 35 (1): 208–232. doi :10.1287/moor.1090.0438. S2CID  11298475.
50. Fink, soy; Jodeit, Max Jr. (1984). "Sobre la otra desigualdad de Chebyshev". En Tong, YL; Gupta, Shanti S. (eds.). Desigualdades en estadística y probabilidad . Notas de conferencias del Instituto de Estadística Matemática - Serie de monografías. vol. 5. págs. 115-120. doi :10.1214/lnms/1215465637. ISBN 978-0-940600-04-1. SEÑOR  0789242 . Consultado el 7 de octubre de 2012 .
51. Niculescu, Constantin P. (2001). "Una extensión de la desigualdad de Chebyshev y su conexión con la desigualdad de Jensen". Revista de Desigualdades y Aplicaciones . 6 (4): 451–462. CiteSeerX 10.1.1.612.7056 . doi : 10.1155/S1025583401000273 . ISSN  1025-5834 . Consultado el 6 de octubre de 2012 . 
52. Niculescu, Constantin P.; Pečarić, Josip (2010). "La equivalencia de la desigualdad de Chebyshev con la desigualdad de Hermite-Hadamard" (PDF) . Informes Matemáticos . 12 (62): 145-156. ISSN  1582-3067 . Consultado el 6 de octubre de 2012 .
53. Malamud, SM (15 de febrero de 2001). "Algunos complementos a las desigualdades de Jensen y Chebyshev y un problema de W. Walter". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 129 (9): 2671–2678. doi : 10.1090/S0002-9939-01-05849-X . ISSN  0002-9939. SEÑOR  1838791 . Consultado el 7 de octubre de 2012 .
54. Cálculo de límites superiores de confianza para concentraciones de puntos de exposición en sitios de desechos peligrosos (Reporte). Oficina de Respuesta de Emergencia y Remediación de la Agencia de Protección Ambiental de EE. UU. Diciembre de 2002 . Consultado el 5 de agosto de 2016 .

Otras lecturas

• A. Papoulis (1991), Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos , 3ª ed. McGraw-Hill. ISBN 0-07-100870-5 . págs. 113-114. 
• G. Grimmett y D. Stirzaker (2001), Probabilidad y procesos aleatorios , 3ª ed. Oxford. ISBN 0-19-857222-0 . Sección 7.3. 

enlaces externos

• "Desigualdad de Chebyshev en la teoría de la probabilidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Prueba formal en el sistema Mizar .