Desigualdad de Kantorovich

En matemáticas , la desigualdad de Kantorovich es un caso particular de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , que es a su vez una generalización de la desigualdad triangular .

La desigualdad del triángulo establece que la longitud de dos lados de cualquier triángulo, sumados, será igual o mayor que la longitud del tercer lado. En términos más simples, la desigualdad de Kantorovich traduce la idea básica de la desigualdad del triángulo a los términos y convenciones de notación de la programación lineal . (Véase espacio vectorial , producto interno y espacio vectorial normado para otros ejemplos de cómo las ideas básicas inherentes a la desigualdad del triángulo (segmento de línea y distancia) se pueden generalizar a un contexto más amplio).

Más formalmente, la desigualdad de Kantorovich se puede expresar de esta manera:

Dejar

${\displaystyle p_{i}\geq 0,\quad 0<a\leq x_{i}\leq b{\text{ for }}i=1,\dots ,n.}$

Dejar ${\displaystyle A_{n}=\{1,2,\dots ,n\}.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)\\&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\right)^{2}-{\frac {(a-b)^{2}}{4ab}}\cdot \min \left\{\left(\sum _{i\in X}p_{i}-\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\,:\,{X\cup Y=A_{n}},{X\cap Y=\varnothing }\right\}.\end{aligned}}}$

La desigualdad de Kantorovich se utiliza en el análisis de convergencia; limita la tasa de convergencia del descenso más pronunciado de Cauchy .

Han surgido equivalentes de la desigualdad de Kantorovich en diversos campos. Por ejemplo, la desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky y la desigualdad de Wielandt son equivalentes a la desigualdad de Kantorovich y todas ellas son, a su vez, casos especiales de la desigualdad de Hölder .

La desigualdad de Kantorovich recibe su nombre del economista, matemático y premio Nobel soviético Leonid Kantorovich , pionero en el campo de la programación lineal .

También existe una versión matricial de la desigualdad de Kantorovich, creada por Marshall y Olkin (1990). Sus extensiones y aplicaciones a la estadística están disponibles; véase, por ejemplo, Liu y Neudecker (1999) y Liu et al. (2022).

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz  : desigualdad matemática que relaciona productos internos y normas

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Desigualdad de Kantorovich". MathWorld .
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz en PlanetMath .
• Entrada del glosario de programación matemática sobre la "desigualdad de Kantorovich"
• Marshall, AW y Olkin, I., Versiones Matrix de las desigualdades de Cauchy y Kantorovich. Aecuaciones Mathematicae 40 (1990) 89–93.
• Liu, Shuangzhe y Neudecker, Heinz, Un estudio de las desigualdades matriciales de tipo Cauchy-Schwarz y Kantorovich. Statistical Papers 40 (1999) 55-73.
• Liu, Shuangzhe, Leiva, Víctor, Zhuang, Dan, Ma, Tiefeng y Figueroa-Zúñiga, Jorge I., Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en el modelo lineal multivariado y su diagnóstico. Journal of Multivariate Analysis 188 (2022) 104849. https://doi.org/10.1016/j.jmva.2021.104849

Enlaces externos

• Biografía de Leonid Vitalyevich Kantorovich