La desigualdad de Eaton

En teoría de la probabilidad , la desigualdad de Eaton es una cota de los valores más grandes de una combinación lineal de variables aleatorias acotadas . Esta desigualdad fue descrita en 1974 por Morris L. Eaton. ^[1]

Declaración de la desigualdad

Sea { X _i } un conjunto de variables aleatorias independientes reales, cada una con un valor esperado de cero y acotada arriba por 1 ( | X _i | ≤ 1, para 1 ≤ i ≤ n ). Las variantes no tienen por qué estar distribuidas de forma idéntica o simétrica. Sea { a _i } un conjunto de n números reales fijos con

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1.}$

Eaton demostró que

${\displaystyle P\left(\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\inf _{0\leq c\leq k}\int _{c}^{\infty }\left({\frac {z-c}{k-c}}\right)^{3}\phi (z)\,dz=2B_{E}(k),}$

donde φ ( x ) es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar .

Un límite relacionado es el de Edelman ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle P\left(\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\left(1-\Phi \left[k-{\frac {1.5}{k}}\right]\right)=2B_{Ed}(k),}$

donde Φ( x ) es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar.

Pinelis ha demostrado que el límite de Eaton se puede agudizar: ^[2]

${\displaystyle B_{EP}=\min\{1,k^{-2},2B_{E}\}}$

Se ha determinado un conjunto de valores críticos para el límite de Eaton. ^[3]

Desigualdades relacionadas

Sea { a _i } un conjunto de variables aleatorias independientes de Rademacher : P ( a _i = 1 ) = P ( a _i = −1 ) = 1/2. Sea Z una variable distribuida normalmente con media 0 y varianza 1. Sea { b _i } un conjunto de n números reales fijos tales que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=1.}$

Esta última condición es requerida por el teorema de Riesz-Fischer que establece que

${\displaystyle a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

convergerá si y sólo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}$

es finito.

Entonces

${\displaystyle Ef(a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n})\leq Ef(Z)}$

para f (x) = | x | ^pag . Whittle ^[4] demostró el caso de p ≥ 3 y Haagerup demostró que p ≥ 2. ^[5]

Si f (x) = e ^λx con λ ≥ 0 entonces

${\displaystyle Ef(a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n})\leq \inf \left[{\frac {E(e^{\lambda Z})}{e^{\lambda x}}}\right]=e^{-x^{2}/2}}$

donde inf es el mínimo . ^[6]

Dejar

${\displaystyle S_{n}=a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

Entonces ^[7]

${\displaystyle P(S_{n}\geq x)\leq {\frac {2e^{3}}{9}}P(Z\geq x)}$

La constante en la última desigualdad es aproximadamente 4,4634.

También se conoce un límite alternativo: ^[8]

${\displaystyle P(S_{n}\geq x)\leq e^{-x^{2}/2}}$

Este último límite está relacionado con la desigualdad de Hoeffding .

En el caso uniforme donde todos los b _i = n ^−1/2, el valor máximo de S _n es n ^1/2 . En este caso van Zuijlen ha demostrado que ^[9]

${\displaystyle P(|\mu -\sigma |)\leq 0.5\,}$^{[ se necesita aclaración ]}

donde μ es la media y σ es la desviación estándar de la suma.

Referencias

1. Eaton, Morris L. (1974) "Una desigualdad de probabilidad para combinaciones lineales de variables aleatorias acotadas". Anales de estadística 2 (3) 609–614
2. T ² de Hotelling en condiciones de simetría". Anales de estadística 22 (1), 357–368
3. Dufour, JM; Hallin, M (1993) "Límites de Eaton mejorados para combinaciones lineales de variables aleatorias acotadas, con aplicaciones estadísticas", Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística , 88 (243) 1026–1033
4. Whittle P (1960) Límites para los momentos de formas lineales y cuadráticas en variables independientes. Teor Verojatnost i Primenen 5: 331–335 MR0133849
5. Haagerup U (1982) Las mejores constantes en la desigualdad de Khinchine. Estudios de matemáticas 70: 231–283 MR0654838
6. Hoeffding W (1963) Desigualdades de probabilidad para sumas de variables aleatorias acotadas. J Amer Statist Assoc 58: 13–30 MR144363
7. Pinelis I (1994) Límites óptimos para las distribuciones de martingalas en espacios de Banach. Ana Probab 22(4):1679-1706
8. de la Peña, VH, Lai TL, Shao Q (2009) Procesos autonormalizados. Springer-Verlag, Nueva York
9. van Zuijlen Martien CA (2011) Sobre una conjetura sobre la suma de variables aleatorias independientes de Rademacher. https://arxiv.org/abs/1112.4988