En geometría , un mosaico uniforme es un mosaico del plano por caras de polígonos regulares con la restricción de ser transitivo por vértices .
Pueden existir mosaicos uniformes tanto en el plano euclidiano como en el plano hiperbólico . Los mosaicos uniformes están relacionados con los poliedros uniformes finitos ; estos pueden considerarse mosaicos uniformes de la esfera .
La mayoría de los mosaicos uniformes se pueden hacer a partir de una construcción de Wythoff comenzando con un grupo de simetría y un punto generador singular dentro del dominio fundamental . Un grupo de simetría plana tiene un dominio fundamental poligonal y puede representarse mediante su notación de grupo: la secuencia de los órdenes de reflexión de los vértices del dominio fundamental.
Un triángulo de dominio fundamental se denota ( pqr ), donde p , q , r son números enteros > 1, es decir ≥ 2; se denota un triángulo rectángulo de dominio fundamental ( pq 2). El triángulo puede existir como un triángulo esférico , un triángulo plano euclidiano o un triángulo plano hiperbólico, dependiendo de los valores de p , q y r .
Existen varios esquemas simbólicos para denotar estas figuras:
Todos los mosaicos uniformes se pueden construir a partir de diversas operaciones aplicadas a los mosaicos regulares . Estas operaciones, como las nombró Norman Johnson , se denominan truncamiento (cortar vértices), rectificación (cortar vértices hasta que desaparezcan las aristas) y cantelación (cortar aristas y vértices). El omnitruncamiento es una operación que combina truncamiento y cantelación. El desaire es una operación de truncamiento alternativo de la forma omnitruncada. (Consulte Poliedro uniforme # Operadores de construcción Wythoff para obtener más detalles).
Los grupos de Coxeter para el avión definen la construcción de Wythoff y pueden representarse mediante diagramas de Coxeter-Dynkin :
Para grupos con órdenes de reflexión de números enteros, que incluyen:
Hay grupos de simetría en el plano euclidiano construidos a partir de triángulos fundamentales: (4 4 2), (6 3 2) y (3 3 3). Cada uno está representado por un conjunto de líneas de reflexión que dividen el plano en triángulos fundamentales.
Estos grupos de simetría crean 3 mosaicos regulares y 7 semirregulares. Varios de los mosaicos semirregulares se repiten a partir de diferentes constructores de simetría.
Un grupo de simetría prismática, (2 2 2 2), está representado por dos conjuntos de espejos paralelos, que en general pueden formar un dominio fundamental rectangular. No genera nuevos mosaicos.
Otro grupo de simetría prismática, (∞ 2 2), tiene un dominio fundamental infinito. Construye dos mosaicos uniformes: el prisma apeirogonal y el antiprisma apeirogonal .
El apilamiento de las caras finitas de estos dos mosaicos prismáticos construye un mosaico uniforme no wythoffiano del plano. Se denomina mosaico triangular alargado , compuesto por capas alternas de cuadrados y triángulos.
Triángulos fundamentales de ángulo recto: ( pq 2)
Triángulos fundamentales generales: ( pqr )
Dominios fundamentales no simples
El único dominio fundamental posible en el espacio 2 euclidiano que no es simplex es el rectángulo (∞ 2 ∞ 2), con diagrama de Coxeter :
. Todas las formas generadas a partir de él se convierten en mosaicos cuadrados .
Hay infinitos mosaicos uniformes formados por polígonos regulares convexos en el plano hiperbólico , cada uno basado en un grupo de simetría reflectante diferente ( pqr ).
Aquí se muestra una muestra con una proyección de disco de Poincaré .
El diagrama de Coxeter-Dynkin se presenta en forma lineal, aunque en realidad es un triángulo, con el segmento final r conectado al primer nodo.
Existen más grupos de simetría en el plano hiperbólico con dominios fundamentales cuadriláteros (comenzando con (2 2 2 3), etc.) que pueden generar nuevas formas. Además, existen dominios fundamentales que sitúan los vértices en el infinito, como (∞ 2 3), etc.
Triángulos fundamentales de ángulo recto: ( pq 2)
Triángulos fundamentales generales: ( pqr )
Hay varias formas de ampliar la lista de mosaicos uniformes:
Los triángulos del grupo de simetría con retrógrados incluyen:
Los triángulos del grupo de simetría con infinito incluyen:
Branko Grünbaum y GC Shephard , en el libro de 1987 Mosaicos y patrones , sección 12.3, enumeran una lista de 25 mosaicos uniformes, incluidas las 11 formas convexas, y agregan 14 más que llaman mosaicos huecos , usando las dos primeras expansiones anteriores: caras de polígonos de estrella y figuras de vértices generalizadas. [1]
HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins y JCP Miller , en el artículo de 1954 'Poliedros uniformes', Tabla 8: Teselaciones uniformes , utilizan las tres primeras expansiones y enumeran un total de 38 mosaicos uniformes. Si se cuenta también un mosaico formado por 2 apeirogons, el total puede considerarse 39 mosaicos uniformes.
En 1981, Grünbaum, Miller y Shephard, en su artículo Uniform Tilings with Hollow Tiles , enumeran 25 mosaicos usando las dos primeras expansiones y 28 más cuando se agrega la tercera (lo que hace 53 usando la definición de Coxeter et al .). Cuando se agrega el cuarto, enumeran 23 mosaicos uniformes adicionales y 10 familias (8 dependiendo de parámetros continuos y 2 de parámetros discretos). [2]
Además de las 11 soluciones convexas, los 28 mosaicos de estrellas uniformes enumerados por Coxeter et al. A continuación se muestran , agrupados por gráficos de bordes compartidos, seguidos de 15 más enumerados por Grünbaum et al. que cumplen con la definición de Coxeter et al . pero no fueron evaluados por ellos.
Este conjunto no se ha demostrado completo. Por "2,25" se entiende el mosaico 25 en la tabla 2 de Grünbaum et al . de 1981.
Los siguientes tres mosaicos son excepcionales porque solo hay un número finito de un tipo de cara: dos apeirogons en cada uno. A veces no se incluye el mosaico apeirogonal de orden 2, ya que sus dos caras se encuentran en más de un borde.
Para mayor claridad, los mosaicos no se colorean de aquí en adelante (debido a las superposiciones). Se resalta un conjunto de polígonos alrededor de un vértice. McNeill solo enumera los mosaicos proporcionados por Coxeter et al . (1954). Los once mosaicos uniformes convexos se han repetido como referencia.
Hay dos mosaicos uniformes para la configuración de vértice 4.8.-4.8.-4.∞ (Grünbaum et al. , 2.10 y 2.11) y también dos mosaicos uniformes para la configuración de vértice 4.8/3.4.8/3.-4.∞ ( Grünbaum et al. , 2.12 y 2.13), con diferentes simetrías. También hay un tercer mosaico para cada configuración de vértice que es solo pseudouniforme (los vértices vienen en dos órbitas de simetría). Usan diferentes conjuntos de caras cuadradas. Por lo tanto, para los mosaicos de estrellas euclidianas, la configuración del vértice no determina necesariamente el mosaico. [2]
En las imágenes siguientes, los cuadrados incluidos con bordes horizontales y verticales están marcados con un punto central. Un solo cuadrado tiene los bordes resaltados. [2]
Los mosaicos con zigzags se enumeran a continuación. {∞ 𝛼 } denota un zigzag con ángulo 0 < 𝛼 < π. El apeirogon puede considerarse el caso especial 𝛼 = π. Las simetrías se dan para el caso genérico, pero a veces hay valores especiales de 𝛼 que aumentan la simetría. Los mosaicos 3.1 y 3.12 pueden incluso volverse regulares; 3.32 ya lo es (no tiene parámetros libres). A veces, hay valores especiales de 𝛼 que hacen que el mosaico degenere. [2]
Los pares de mosaicos 3.17 y 3.18, así como 3.19 y 3.20, tienen configuraciones de vértices idénticas pero simetrías diferentes. [2]
Los mosaicos 3.7 a 3.10 tienen la misma disposición de bordes que 2.1 y 2.2; 3.17 a 3.20 tienen la misma disposición de bordes que 2.10 a 2.13; 3.21 a 3.24 tienen la misma disposición de bordes que 2.18 a 2.23; y del 3,25 al 3,33 tienen la misma disposición de bordes que el 1,25 (el mosaico triangular normal). [2]
Un mosaico también puede ser autodual . El mosaico cuadrado, con el símbolo de Schläfli {4,4}, es autodual; Aquí se muestran dos mosaicos cuadrados (rojo y negro), duales entre sí.
Ver un polígono de estrella regular como un polígono simple isotoxal no convexo con el doble de lados (más cortos) pero alternando los mismos ángulos internos externos e "interiores" permite usar polígonos de estrella regulares en un mosaico, y ver polígonos simples isotoxales como "regulares" permite que los polígonos de estrellas regulares (pero no todos) se utilicen en un mosaico "uniforme".
Además, los contornos de ciertos polígonos de estrellas isotoxales no regulares son polígonos isotoxales (simples) no convexos con tantos lados (más cortos) y alternando los mismos ángulos internos externos e internos; ver este tipo de polígonos de estrellas isotoxales como sus contornos permite que se usen en un mosaico, y ver polígonos de estrellas isotoxales simples como "regulares" permite que este tipo de polígonos de estrellas isotoxales se usen (pero no todos pueden) en un "uniforme". " mosaico.
Un 2 n -gón simple isotoxal con ángulo interno exterior 𝛼 se denota por { n 𝛼 }; sus vértices exteriores están etiquetados como n*
𝛼, y los internos como n**
𝛼.
Estas ampliaciones de la definición de mosaico requieren que las esquinas con solo 2 polígonos no se consideren vértices, ya que la configuración de vértices para vértices con al menos 3 polígonos es suficiente para definir dicho mosaico "uniforme", y para que este último tenga una configuración de vértice. vale (sino tendría dos) —. Hay 4 mosaicos uniformes con ángulos ajustables 𝛼 y 18 mosaicos uniformes que solo funcionan con ángulos específicos, lo que produce un total de 22 mosaicos uniformes que usan polígonos en forma de estrella. [4]
Todos estos mosaicos, con posibles vértices de orden 2 ignorados, con posibles aristas dobles y triples reducidas a aristas simples, están relacionados topológicamente con los mosaicos uniformes ordinarios (usando solo polígonos regulares convexos).
Los isotoxales no regulares, ya sea en estrella o simples 2 n -gons, siempre alternan dos ángulos. Isotoxal simple 2 n -gons, { n 𝛼 }, puede ser convexo ; los más simples son los rombos (2×2-gonos), {2 𝛼 }. Considerar estos { n 𝛼 } convexos como polígonos "regulares" permite considerar "uniformes" más mosaicos.
