Los mosaicos de planos euclidianos formados por polígonos regulares convexos se han utilizado ampliamente desde la antigüedad. El primer tratamiento matemático sistemático fue el de Kepler en sus Harmonices Mundi ( latín : La armonía del mundo , 1619).
Los mosaicos euclidianos suelen llevar el nombre de la notación de Cundy y Rollett. [1] Esta notación representa (i) el número de vértices, (ii) el número de polígonos alrededor de cada vértice (dispuestos en el sentido de las agujas del reloj) y (iii) el número de lados de cada uno de esos polígonos. Por ejemplo: 3 6 ; 3 6 ; 3 4 .6, nos dice que hay 3 vértices con 2 tipos de vértices diferentes, por lo que este mosaico se clasificaría como un mosaico de '3 uniformes (tipos de 2 vértices)'. Desglosado, 3 6 ; 3 6 (ambos de diferente clase de transitividad), o (3 6 ) 2 , nos dice que hay 2 vértices (indicados por el superíndice 2), cada uno con 6 polígonos equiláteros de 3 lados (triángulos). Con un vértice final 3 4 .6, 4 triángulos equiláteros contiguos más y un único hexágono regular.
Sin embargo, esta notación tiene dos problemas principales relacionados con la conformación ambigua y la unicidad [2]. Primero, cuando se trata de teselados k-uniformes, la notación no explica las relaciones entre los vértices. Esto hace imposible generar un plano cubierto dada únicamente la notación. Y segundo, algunos teselados tienen la misma nomenclatura, son muy similares pero se puede notar que las posiciones relativas de los hexágonos son diferentes. Por tanto, el segundo problema es que esta nomenclatura no es única para cada teselación.
Para resolver esos problemas, la notación de GomJau-Hogg [3] es una versión ligeramente modificada de la investigación y notación presentada en 2012, [2] sobre la generación y nomenclatura de teselaciones y grillas de doble capa. Antwerp v3.0, [4] una aplicación en línea gratuita, permite la generación infinita de mosaicos de polígonos regulares a través de un conjunto de etapas de colocación de formas y operaciones iterativas de rotación y reflexión, obtenidas directamente de la notación de GomJau-Hogg.
Siguiendo a Grünbaum y Shephard (sección 1.3), se dice que un mosaico es regular si el grupo de simetría del mosaico actúa transitivamente sobre las banderas del mosaico, donde una bandera es un triple que consta de un vértice , un borde y una losa del mosaico mutuamente incidentes. embaldosado. Esto significa que, para cada par de banderas, hay una operación de simetría que asigna la primera bandera a la segunda. Esto equivale a que el mosaico sea un mosaico de borde a borde formado por polígonos regulares congruentes . Debe haber seis triángulos equiláteros , cuatro cuadrados o tres hexágonos regulares en un vértice, dando los tres teselados regulares .
C&R: Notación de Cundy & Rollet
GJ-H: Notación de GomJau-Hogg
La transitividad de vértices significa que para cada par de vértices hay una operación de simetría que asigna el primer vértice al segundo. [5]
Si el requisito de transitividad de bandera se relaja a uno de transitividad de vértice, mientras se mantiene la condición de que el mosaico esté de borde a borde, hay ocho mosaicos adicionales posibles, conocidos como mosaicos de Arquímedes , uniformes o semirregulares . Tenga en cuenta que hay dos formas de imagen especular (enantiomorfa o quiral ) de mosaico 3 4 .6 (hexagonal chato), de las cuales solo una se muestra en la siguiente tabla. Todos los demás mosaicos regulares y semirregulares son aquirales.
C&R: Notación de Cundy & Rollet
GJ-H: Notación de GomJau-Hogg
Grünbaum y Shephard distinguen la descripción de estos mosaicos como Arquímedes en el sentido de que se refiere únicamente a la propiedad local de que la disposición de los mosaicos alrededor de cada vértice sea la misma, y que sea tan uniforme como refiriéndose a la propiedad global de la transitividad de vértices. Aunque estos producen el mismo conjunto de mosaicos en el plano, en otros espacios hay mosaicos de Arquímedes que no son uniformes.
Hay 17 combinaciones de polígonos regulares convexos que forman 21 tipos de mosaicos de vértice plano . [6] [7] Los polígonos en estos se encuentran en un punto sin espacios ni superposiciones. Enumerando las figuras por sus vértices , una tiene 6 polígonos, tres tienen 5 polígonos, siete tienen 4 polígonos y diez tienen 3 polígonos. [8]
Como se detalla en las secciones anteriores, tres de ellos pueden hacer mosaicos regulares (6 3 , 4 4 , 3 6 ), y ocho más pueden hacer mosaicos semirregulares o de Arquímedes (3.12.12, 4.6.12, 4.8.8, (3.6 ) 2 , 3.4.6.4, 3.3.4.3.4, 3.3.3.4.4, 3.3.3.3.6). Cuatro de ellos pueden existir en mosaicos k-uniformes superiores (3.3.4.12, 3.4.3.12, 3.3.6.6, 3.4.4.6), mientras que seis no pueden usarse para mosaicos completos del plano mediante polígonos regulares sin espacios ni superposiciones: solo tesela el espacio por completo cuando se incluyen polígonos irregulares (3.7.42, 3.8.24, 3.9.18, 3.10.15, 4.5.20, 5.5.10). [9]
Estos mosaicos periódicos pueden clasificarse por el número de órbitas de vértices, aristas y mosaicos. Si hay k órbitas de vértices, un mosaico se conoce como k -uniforme o k -isogonal; si hay t órbitas de baldosas, como t -isoédrica; si hay e órbitas de aristas, como e -isotoxal.
k -los mosaicos uniformes con las mismas figuras de vértice se pueden identificar aún más por la simetría del grupo de papel tapiz .
Los mosaicos 1-uniformes incluyen 3 mosaicos regulares y 8 semirregulares, con 2 o más tipos de caras de polígonos regulares. Hay 20 mosaicos de 2 uniformes, 61 mosaicos de 3 uniformes, 151 mosaicos de 4 uniformes, 332 mosaicos de 5 uniformes y 673 mosaicos de 6 uniformes. Cada uno se puede agrupar por el número m de figuras de vértices distintas, que también se denominan m -tejidos de Arquímedes. [10]
Finalmente, si el número de tipos de vértices es el mismo que la uniformidad ( m = k abajo), entonces se dice que el mosaico es Krotenheerdt . En general, la uniformidad es mayor o igual al número de tipos de vértices ( m ≥ k ), ya que diferentes tipos de vértices necesariamente tienen órbitas diferentes, pero no al revés. Configurando m = n = k , hay 11 teselaciones de este tipo para n = 1; 20 de estos mosaicos para n = 2; 39 teselas de este tipo para n = 3; 33 teselas de este tipo para n = 4; 15 de estos mosaicos para n = 5; 10 de estos mosaicos para n = 6; y 7 de esos mosaicos para n = 7.
A continuación se muestra un ejemplo de mosaico de 3 uniformes:
Hay veinte (20) mosaicos de 2 uniformes del plano euclidiano. (también llamados mosaicos 2- isogonales o mosaicos demirregulares ) [5] : 62-67 [13] [14] Se enumeran los tipos de vértices para cada uno. Si dos mosaicos comparten los mismos dos tipos de vértices, se les asignan los subíndices 1,2.
Se han enumerado hasta 6 mosaicos k -uniformes. Hay 673 mosaicos 6-uniformes del plano euclidiano. La búsqueda de Brian Galebach reprodujo la lista de Krotenheerdt de 10 mosaicos de 6 uniformes con 6 tipos de vértices distintos, además de encontrar 92 de ellos con 5 tipos de vértices, 187 de ellos con 4 tipos de vértices, 284 de ellos con 3 tipos de vértices y 100 con 2. tipos de vértices.
Hay muchas formas de generar nuevos mosaicos k -uniformes a partir de mosaicos k -uniformes antiguos . Por ejemplo, observe que el 2-uniforme [3.12.12; 3.4.3.12] el mosaico tiene una red cuadrada, el uniforme 4(3-1) [343.12; (3.12 2 )3] tiene una red cuadrada chata, y el uniforme 5(3-1-1) [334.12; 343,12; (3.12.12)3] el mosaico tiene una red triangular alargada. Estos mosaicos uniformes de orden superior utilizan la misma red pero poseen una mayor complejidad. La base fractalizante para estos mosaicos es la siguiente: [15]
Las longitudes de los lados están dilatadas por un factor de .
Esto se puede hacer de manera similar con el mosaico trihexagonal truncado como base, con la correspondiente dilatación de .
Los polígonos regulares convexos también pueden formar mosaicos planos que no están de borde a borde. Estos mosaicos pueden considerarse de borde a borde como polígonos no regulares con bordes colineales adyacentes.
Hay siete familias de isogonales , cada familia tiene un parámetro de valor real que determina la superposición entre los lados de baldosas adyacentes o la relación entre las longitudes de los bordes de diferentes baldosas. Dos de las familias se generan a partir de posiciones cuadradas desplazadas, ya sea en posiciones progresivas o en zigzag. Grünbaum y Shephard llaman uniformes a estos mosaicos , aunque contradice la definición de uniformidad de Coxeter, que requiere polígonos regulares de borde a borde. [16] Estos mosaicos isogonales son en realidad topológicamente idénticos a los mosaicos uniformes, con diferentes proporciones geométricas.
Vínculos euclidianos y de mosaico general:
