Un poliedro pseudouniforme es un poliedro que tiene polígonos regulares como caras y tiene la misma configuración de vértice en todos los vértices , pero no es transitivo por vértice : no es cierto que para dos vértices cualesquiera exista una simetría del poliedro que mapee el primero. isométricamente sobre el segundo. Así, aunque todos los vértices de un poliedro pseudouniforme parezcan iguales, no es isogonal . Se denominan poliedros pseudouniformes debido a su parecido con algunos verdaderos poliedros uniformes .
Hay dos poliedros pseudouniformes conocidos: el pseudorombicuboctaedro y el pseudogran rombicuboctaedro . No se sabe si hay otros; Branko Grünbaum conjeturó que no, pero pensó que una demostración sería "probablemente bastante complicada". [1] Ambos tienen simetría D 4d , la misma simetría que un antiprisma cuadrado . Ambos pueden construirse a partir de un poliedro uniforme girando una tapa en forma de cúpula .
El pseudorombicuboctaedro es el único poliedro pseudouniforme convexo. También es un sólido de Johnson (J 37 ) y también puede denominarse girobicúpula cuadrada alargada . Su dual es el icositetraedro pseudodeltoidal . Como sugiere el nombre, se puede construir alargando una girobicúpula cuadrada ( J 29 ) e insertando un prisma octogonal entre sus dos mitades. El sólido resultante es localmente regular en los vértices: la disposición de las cuatro caras incidentes en cualquier vértice es la misma para todos los vértices; esto es único entre los sólidos de Johnson. Sin embargo, no es transitivo por vértices y, en consecuencia, no es uno de los sólidos de Arquímedes , ya que hay pares de vértices tales que no existe una isometría del sólido que mapee uno en el otro. Esencialmente, los dos tipos de vértices se pueden distinguir por sus "vecinos de vecinos". Otra forma de ver que el poliedro no es regular en sus vértices es observar que hay exactamente un cinturón de ocho cuadrados alrededor de su ecuador, lo que distingue los vértices del cinturón de los vértices a ambos lados.
El sólido también puede verse como el resultado de torcer una de las cúpulas cuadradas ( J 4 ) en un rombicuboctaedro (uno de los sólidos de Arquímedes ; también conocido como ortobicúpula cuadrada alargada) en 45 grados. Su similitud con el rombicuboctaedro le da el nombre alternativo de pseudorombicuboctaedro . En ocasiones se le ha denominado "el decimocuarto sólido de Arquímedes".
Con caras coloreadas por su simetría D 4d , puede verse así:
Hay 8 cuadrados (verdes) alrededor de su ecuador , 4 triángulos (rojos) y 4 cuadrados (amarillos) arriba y abajo, y un cuadrado (azul) en cada polo.
La construcción del uniforme y pseudo rombicuboctaedro se puede ver en los siguientes aumentos del prisma octogonal:
El gran rombicuboctaedro uniforme no convexo puede verse como un prisma octagrámico con los octagramas excavados con cúpulas cuadradas cruzadas, de manera similar a cómo el rombicuboctaedro puede verse como un prisma octagonal con los octágonos aumentados con cúpulas cuadradas. Al girar una de las cúpulas en esta construcción se obtiene el pseudogran rombicuboctaedro .
Las imágenes siguientes muestran la excavación del prisma octagrámico con cúpulas cuadradas cruzadas que se realiza paso a paso. Las cúpulas cuadradas cruzadas son siempre rojas, mientras que los lados cuadrados del prisma octagrámico son de otros colores. Todas las imágenes están orientadas aproximadamente de la misma manera para mayor claridad.
El pseudo gran rombicuboctaedro tiene un único "cinturón" de cuadrados alrededor de su ecuador y puede construirse girando 45 grados una de las cúpulas cuadradas cruzadas de un gran rombicuboctaedro no convexo. Esto es análogo al pseudorombicuboctaedro.
Los duales de los poliedros pseudouniformes tienen todas las caras congruentes , pero no transitivas: no todas sus caras se encuentran dentro de la misma órbita de simetría y, por lo tanto, no son isoédricas . Esto es una consecuencia de que los poliedros pseudouniformes tienen la misma configuración de vértice en cada vértice, pero no son transitivos por vértice . Esto se demuestra por los diferentes colores utilizados para las caras en las imágenes de los poliedros pseudouniformes duales de este artículo, que denotan diferentes tipos de caras.
