Teoría de la estabilidad

Parte de las matemáticas que aborda la estabilidad de las soluciones.

Diagrama de estabilidad que clasifica los mapas de Poincaré de sistemas autónomos lineales en estables o inestables según sus características. La estabilidad generalmente aumenta hacia la izquierda del diagrama. ^[1] Algunos sumidero, fuente o nodo son puntos de equilibrio . ${\displaystyle x'=Ax,}$

En matemáticas , la teoría de la estabilidad aborda la estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales y de trayectorias de sistemas dinámicos bajo pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales. La ecuación del calor , por ejemplo, es una ecuación diferencial parcial estable porque pequeñas perturbaciones de los datos iniciales conducen a pequeñas variaciones de temperatura en un momento posterior como resultado del principio de máximo . En ecuaciones diferenciales parciales se pueden medir las distancias entre funciones usando normas L p o la norma sup, mientras que en geometría diferencial se puede medir la distancia entre espacios usando la distancia de Gromov-Hausdorff .

En los sistemas dinámicos, una órbita se denomina estable de Lyapunov si la órbita directa de cualquier punto se encuentra en una vecindad lo suficientemente pequeña o permanece en una vecindad pequeña (pero quizás más grande). Se han desarrollado varios criterios para demostrar la estabilidad o inestabilidad de una órbita. En circunstancias favorables, la cuestión puede reducirse a un problema bien estudiado que involucre valores propios de matrices . Un método más general involucra funciones de Lyapunov . En la práctica, se aplica cualquiera de varios criterios de estabilidad diferentes.

Descripción general de los sistemas dinámicos.

Muchas partes de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales y los sistemas dinámicos tratan de las propiedades asintóticas de las soluciones y las trayectorias (lo que sucede con el sistema después de un largo período de tiempo). El tipo de comportamiento más simple lo exhiben los puntos de equilibrio , o puntos fijos, y las órbitas periódicas . Si se comprende bien una órbita particular, es natural preguntarse a continuación si un pequeño cambio en la condición inicial conducirá a un comportamiento similar. La teoría de la estabilidad aborda las siguientes preguntas: ¿Una órbita cercana permanecerá indefinidamente cerca de una órbita determinada? ¿Convergerá a la órbita dada? En el primer caso, la órbita se llama estable ; en el último caso, se llama asintóticamente estable y se dice que la órbita dada es de atracción .

Una solución de equilibrio de un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se denomina: ${\displaystyle f_{e}}$

• estable si para cada (pequeño) , existe una solución tal que cada solución que tiene condiciones iniciales dentro de una distancia, es decir, del equilibrio, permanece dentro de una distancia , es decir, para todos . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \|f(t)-f_{e}\|<\epsilon }$ ${\displaystyle t\geq t_{0}}$
• asintóticamente estable si es estable y, además, existe tal que siempre que entonces como . ${\displaystyle \delta _{0}>0}$ ${\displaystyle \|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta _{0}}$ ${\displaystyle f(t)\rightarrow f_{e}}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

La estabilidad significa que las trayectorias no cambian demasiado ante pequeñas perturbaciones. También es interesante la situación opuesta, en la que una órbita cercana es repelida de la órbita dada. En general, perturbar el estado inicial en algunas direcciones da como resultado que la trayectoria se acerque asintóticamente al estado dado y en otras direcciones a la trayectoria se aleje de él. También puede haber direcciones para las cuales el comportamiento de la órbita perturbada sea más complicado (ni converja ni escape completamente), y entonces la teoría de la estabilidad no proporciona suficiente información sobre la dinámica.

Una de las ideas clave de la teoría de la estabilidad es que el comportamiento cualitativo de una órbita sometida a perturbaciones se puede analizar mediante la linealización del sistema cerca de la órbita. En particular, en cada equilibrio de un sistema dinámico suave con un espacio de fase n -dimensional , existe una determinada matriz A n × n cuyos valores propios caracterizan el comportamiento de los puntos cercanos ( teorema de Hartman-Grobman ). Más precisamente, si todos los valores propios son números reales negativos o números complejos con partes reales negativas, entonces el punto es un punto fijo de atracción estable y los puntos cercanos convergen a él a una tasa exponencial , cf. Estabilidad de Lyapunov y estabilidad exponencial . Si ninguno de los valores propios es puramente imaginario (o cero), entonces las direcciones de atracción y repulsión están relacionadas con los espacios propios de la matriz A con valores propios cuya parte real es negativa y, respectivamente, positiva. Se conocen declaraciones análogas para perturbaciones de órbitas más complicadas.

Estabilidad de puntos fijos en 2D.

Visualización esquemática de 4 de los tipos de puntos fijos más comunes.

El caso paradigmático es la estabilidad del origen bajo la ecuación diferencial autónoma lineal donde y es una matriz de 2 por 2. ${\displaystyle {\dot {X}}=AX}$ ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$

A veces realizamos un cambio de base para alguna matriz invertible , lo que da . Decimos que está " en la nueva base". Desde y , podemos clasificar la estabilidad del origen usando y , mientras usamos libremente el cambio de base. ${\displaystyle X'=CX}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\dot {X}}'=C^{-1}ACX'}$ ${\displaystyle C^{-1}AC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det A=\det C^{-1}AC}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A=\operatorname {tr} C^{-1}AC}$ ${\displaystyle \det A}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A}$

Clasificación de tipos de estabilidad.

Si , entonces el rango de es cero o uno. ${\displaystyle \det A=0}$ ${\displaystyle A}$

• Si el rango es cero, entonces y no hay flujo. ${\displaystyle A=0}$
• Si el rango es uno, entonces y son ambos unidimensionales. ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$
  • Si , entonces sea span y sea una preimagen de , entonces en base, , por lo que el flujo es un corte a lo largo de la dirección. En este caso, . ${\displaystyle \ker A=\operatorname {im} A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \{v,w\}}$ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$
  • Si , entonces let span y let span , entonces en base, para algún número real distinto de cero . ${\displaystyle \ker A\neq \operatorname {im} A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$ ${\displaystyle \{v,w\}}$ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle a}$
    • Si , entonces es inestable y diverge a una velocidad de a lo largo de traslaciones paralelas de . ${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$
    • Si , entonces es estable y converge a una velocidad de a lo largo de traslaciones paralelas de . ${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$

Si , primero encontramos la forma normal de Jordan de la matriz, para obtener una base en la que se encuentre una de tres formas posibles: ${\displaystyle \det A\neq 0}$ ${\displaystyle \{v,w\}}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}}$dónde . ${\displaystyle a,b\neq 0}$
  • Si entonces . El origen es una fuente , con curvas integrales de forma. ${\displaystyle a,b>0}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(a-b)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}}$ ${\displaystyle y=cx^{b/a}}$
  • De manera similar para . El origen es un sumidero . ${\displaystyle a,b<0}$
  • Si o , entonces , y el origen es un punto de silla . con curvas integrales de forma . ${\displaystyle a>0>b}$ ${\displaystyle a<0<b}$ ${\displaystyle \det A<0}$ ${\displaystyle y=cx^{-|b/a|}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}}$dónde . Esto se puede simplificar aún más mediante un cambio de base con , después del cual . Podemos resolver explícitamente con . La solución es con . Este caso se denomina " nodo degenerado ". Las curvas integrales en esta base son dilataciones centrales de , más el eje x. ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\dot {X}}=AX}$ ${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle X(t)=e^{At}X(0)}$ ${\displaystyle e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle x=y\ln y}$
  • Si , entonces el origen es una fuente degenerada . De lo contrario es un sumidero degenerado . ${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$
  • En ambos casos, ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$
• ${\displaystyle a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$dónde . En este caso, . ${\displaystyle a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0}$
  • Si , entonces este es un fregadero en espiral . En este caso, . Las rectas integrales son espirales logarítmicas . ${\displaystyle \theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}}$
  • Si , entonces esta es una fuente en espiral . En este caso, . Las rectas integrales son espirales logarítmicas . ${\displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}}$
  • Si , entonces se trata de una rotación (" estabilidad neutral ") a una velocidad de , sin acercarse ni alejarse del origen. En este caso, . Las rectas integrales son círculos. ${\displaystyle \theta =-\pi /2,\pi /2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$

El resumen se muestra en el diagrama de estabilidad de la derecha. En cada caso, excepto el caso de , los valores permiten una clasificación única del tipo de flujo. ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$ ${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$

Para el caso especial de , hay dos casos que no se pueden distinguir por . En ambos casos, tiene un solo valor propio, con multiplicidad algebraica 2. ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$ ${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$ ${\displaystyle A}$

• Si el valor propio tiene un espacio propio bidimensional ( multiplicidad geométrica 2), entonces el sistema es un nodo central (a veces llamado " estrella " o " nodo dicrítico ") que es una fuente (cuando ) o un sumidero (cuando ) . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$
• Si tiene un espacio propio unidimensional ( multiplicidad geométrica 1), entonces el sistema es un nodo degenerado (si ) o un flujo cortante (si ). ${\displaystyle \det A>0}$ ${\displaystyle \det A=0}$

Flujo que preserva el área

Cuando tenemos , entonces el flujo preserva el área. En este caso, el tipo de flujo se clasifica por . ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$ ${\displaystyle \det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=I}$ ${\displaystyle \det A}$

• Si , entonces es una rotación ("estabilidad neutral") alrededor del origen. ${\displaystyle \det A>0}$
• Si , entonces es un flujo cortante. ${\displaystyle \det A=0}$
• Si , entonces el origen es un punto de silla. ${\displaystyle \det A<0}$

Estabilidad de puntos fijos

El tipo más simple de órbita es un punto fijo o equilibrio. Si un sistema mecánico se encuentra en un estado de equilibrio estable, entonces un pequeño empujón dará como resultado un movimiento localizado, por ejemplo, pequeñas oscilaciones como en el caso de un péndulo . En un sistema con amortiguamiento , un estado de equilibrio estable es además asintóticamente estable. Por otro lado, para un equilibrio inestable, como una pelota que descansa en la cima de una colina, ciertos pequeños empujones darán como resultado un movimiento con una gran amplitud que puede converger o no al estado original.

Existen pruebas de estabilidad útiles para el caso de un sistema lineal. La estabilidad de un sistema no lineal a menudo se puede inferir de la estabilidad de su linealización .

Mapas

Sea f : R → R una función continuamente diferenciable con un punto fijo a , f ( a ) = a . Considere el sistema dinámico obtenido al iterar la función f :

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .}$

El punto fijo a es estable si el valor absoluto de la derivada de f en a es estrictamente menor que 1, e inestable si es estrictamente mayor que 1. Esto se debe a que cerca del punto a , la función f tiene una aproximación lineal con pendiente f' ( a ) :

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).}$

De este modo

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}-a&=f(x_{n})-a\\&\approx f(a)+f'(a)(x_{n}-a)-a\\&=a+f'(a)(x_{n}-a)-a\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}}$

lo que significa que la derivada mide la velocidad a la que las sucesivas iteraciones se acercan al punto fijo a o divergen de él. Si la derivada en a es exactamente 1 o −1, entonces se necesita más información para decidir la estabilidad.

Existe un criterio análogo para un mapa f continuamente diferenciable : R ⁿ → R ⁿ con un punto fijo a , expresado en términos de su matriz jacobiana en a , J _a ( f ) . Si todos los valores propios de J son números reales o complejos con un valor absoluto estrictamente menor que 1, entonces a es un punto fijo estable; si al menos uno de ellos tiene un valor absoluto estrictamente mayor que 1, entonces a es inestable. Al igual que para n = 1, el caso en el que el valor absoluto más grande es 1 debe investigarse más a fondo: la prueba de la matriz jacobiana no es concluyente. El mismo criterio se aplica de manera más general a los difeomorfismos de una variedad suave .

Sistemas autónomos lineales

La estabilidad de puntos fijos de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante de primer orden se puede analizar utilizando los valores propios de la matriz correspondiente.

Un sistema autónomo

${\displaystyle x'=Ax,}$

donde x ( t ) ∈ R ⁿ y A es una matriz n × n con entradas reales, tiene una solución constante

${\displaystyle x(t)=0.}$

(En un lenguaje diferente, el origen 0 ∈ R ⁿ es un punto de equilibrio del sistema dinámico correspondiente). Esta solución es asintóticamente estable como t → ∞ ("en el futuro") si y solo si para todos los valores propios λ de A , Re ( λ ) < 0 . De manera similar, es asintóticamente estable como t → −∞ ("en el pasado") si y solo si para todos los valores propios λ de A , Re( λ ) > 0 . Si existe un valor propio λ de A con Re( λ ) > 0 entonces la solución es inestable para t → ∞ .

La aplicación de este resultado en la práctica, para decidir la estabilidad del origen de un sistema lineal, se ve facilitada por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . Los valores propios de una matriz son las raíces de su polinomio característico . Un polinomio en una variable con coeficientes reales se llama polinomio de Hurwitz si las partes reales de todas las raíces son estrictamente negativas. El teorema de Routh-Hurwitz implica una caracterización de los polinomios de Hurwitz mediante un algoritmo que evita calcular las raíces.

Sistemas autónomos no lineales

La estabilidad asintótica de puntos fijos de un sistema no lineal a menudo se puede establecer utilizando el teorema de Hartman-Grobman .

Supongamos que v es un campo vectorial C 1 ^en R n ^que desaparece en un punto p , v ( p ) = 0 . Entonces el sistema autónomo correspondiente

${\displaystyle x'=v(x)}$

tiene una solución constante

${\displaystyle x(t)=p.}$

Sea J _p ( v ) la matriz jacobiana n × n del campo vectorial v en el punto p . Si todos los valores propios de J tienen parte real estrictamente negativa, entonces la solución es asintóticamente estable. Esta condición se puede probar utilizando el criterio de Routh-Hurwitz .

Función de Lyapunov para sistemas dinámicos generales.

Una forma general de establecer la estabilidad de Lyapunov o estabilidad asintótica de un sistema dinámico es mediante funciones de Lyapunov .

Ver también

• Teoría del caos
• Estabilidad de Lyapunov
• Hiperestabilidad
• Estabilidad lineal
• Estabilidad orbital
• Criterio de estabilidad
• Radio de estabilidad
• Estabilidad estructural
• Análisis de estabilidad de von Neumann

Referencias

1. Egwald Mathematics - Álgebra lineal: sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: análisis de estabilidad lineal Consultado el 10 de octubre de 2019.
2. "Nodo - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 30 de marzo de 2023 .

• Philip Holmes y Eric T. Shea-Brown (ed.). "Estabilidad". Scholarpedia .

enlaces externos

• Equilibrios estables de Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project .