Radio de estabilidad

Concepto en matemáticas

En matemáticas , el radio de estabilidad de un objeto (sistema, función , matriz , parámetro ) en un punto nominal dado es el radio de la bola más grande , centrada en el punto nominal, todos cuyos elementos satisfacen condiciones de estabilidad predeterminadas. La imagen de esta noción intuitiva es la siguiente:

donde denota el punto nominal, denota el espacio de todos los valores posibles del objeto , y el área sombreada, representa el conjunto de puntos que satisfacen las condiciones de estabilidad. El radio del círculo azul, mostrado en rojo, es el radio de estabilidad. ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P(s)}$

Definición abstracta

La definición formal de este concepto varía según el área de aplicación. La siguiente definición abstracta es bastante útil ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\hat {\rho }}({\hat {p}}):=\max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}}$

donde denota una bola cerrada de radio centrada en . ${\displaystyle B(\rho ,{\hat {p}})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

Historia

Parece que el concepto se inventó a principios de los años 1960. ^{[3] [4]} En la década de 1980 se hizo popular en la teoría de control ^[5] y la optimización. ^[6] Es ampliamente utilizado como modelo de robustez local frente a pequeñas perturbaciones en un valor nominal dado del objeto de interés.

Relación con el modelo maximin de Wald

Se demostró ^[2] que el modelo del radio de estabilidad es un ejemplo del modelo maximin de Wald . Eso es,

${\displaystyle \max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}\equiv \max _{\rho \geq 0}\min _{p\in B(\rho ,{\hat {p}})}f(\rho ,p)}$

dónde

${\displaystyle f(\rho ,p)=\left\{{\begin{array}{cc}\rho &,\ p\in P(s)\\-\infty &,\ p\notin P(s)\end{array}}\right.}$

La penalización grande ( ) es un dispositivo para obligar al jugador a no perturbar el valor nominal más allá del radio de estabilidad del sistema. Es una indicación de que el modelo de estabilidad es un modelo de estabilidad/robustez local, más que global. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \max }$

Teoría de la decisión de la brecha de información

La teoría de la decisión de la brecha de información es una teoría de decisión no probabilística reciente. Se afirma que es radicalmente diferente de todas las teorías actuales sobre la decisión en condiciones de incertidumbre. Pero se ha demostrado ^[2] que su modelo de robustez, a saber

${\displaystyle {\hat {\alpha }}(q,{\tilde {u}}):=\max \ \{\alpha \geq 0:r_{c}\leq R(q,u),\forall u\in U(\alpha ,{\tilde {u}})\}}$

es en realidad un modelo de radio de estabilidad caracterizado por un requisito de estabilidad simple de la forma donde denota la decisión bajo consideración, denota el parámetro de interés, denota la estimación del valor real de y denota una bola de radio centrada en . ${\displaystyle r_{c}\leq R(q,u)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U(\alpha ,{\tilde {u}})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\tilde {u}}}$

Dado que los modelos de radio de estabilidad están diseñados para abordar pequeñas perturbaciones en el valor nominal de un parámetro, el modelo de robustez de info-gap mide la robustez local de las decisiones en las proximidades de la estimación . ${\displaystyle {\tilde {u}}}$

Sniedovich ^[2] sostiene que, por esta razón, la teoría no es adecuada para el tratamiento de la incertidumbre severa caracterizada por una estimación pobre y un vasto espacio de incertidumbre.

Definición alternativa

Hay casos en los que es más conveniente definir el radio de estabilidad ligeramente diferente. Por ejemplo, en muchas aplicaciones de la teoría del control, el radio de estabilidad se define como el tamaño de la perturbación desestabilizadora más pequeña en el valor nominal del parámetro de interés. ^[7] La ​​imagen es esta:

Más formalmente,

${\displaystyle {\hat {\rho }}(q):=\min _{p\notin P(s)}dist(p,{\hat {p}})}$

donde denota la distancia de desde . ${\displaystyle dist(p,{\hat {p}})}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

Radio de estabilidad de funciones.

El radio de estabilidad de una función continua f (en un espacio funcional F ) con respecto a un dominio de estabilidad abierto D es la distancia entre f y el conjunto de funciones inestables (con respecto a D ). Decimos que una función es estable respecto de D si su espectro está en D. En este caso, la noción de espectro se define caso por caso, como se explica a continuación.

Definición

Formalmente, si denotamos el conjunto de funciones estables por S(D) y el radio de estabilidad por r(f,D) , entonces:

${\displaystyle r(f,D)=\inf _{g\in C}\{\|g\|:f+g\notin S(D)\},}$

donde C es un subconjunto de F .

Tenga en cuenta que si f ya es inestable (con respecto a D ), entonces r(f,D)=0 (siempre que C contenga cero).

Aplicaciones

La noción de radio de estabilidad se aplica generalmente a funciones especiales como polinomios (el espectro son entonces las raíces) y matrices (el espectro son los valores propios ). El caso en el que C es un subconjunto propio de F nos permite considerar perturbaciones estructuradas (por ejemplo, para una matriz, sólo podríamos necesitar perturbaciones en la última fila). Es una medida interesante de robustez, por ejemplo en la teoría del control .

Propiedades

Sea f un polinomio ( complejo ) de grado n , C=F sea el conjunto de polinomios de grado menor (o igual a) n (que aquí identificamos con el conjunto de coeficientes). Tomamos como D el disco unitario abierto , lo que significa que buscamos la distancia entre un polinomio y el conjunto de polinomios estables de Schur . Entonces: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

${\displaystyle r(f,D)=\inf _{z\in \partial D}{\frac {|f(z)|}{\|q(z)\|}},}$

donde q contiene cada vector de base (por ejemplo, cuando q es la base de potencia habitual). Este resultado significa que el radio de estabilidad está ligado al valor mínimo que alcanza f en el círculo unitario. ${\displaystyle q(z)=(1,z,\ldots ,z^{n})}$

Ejemplos

• El polinomio (cuyos ceros son las raíces octavas de 0,9 ) tiene un radio de estabilidad de 1/80 si q es la base de potencia y la norma es la norma del infinito. Entonces debe existir un polinomio g con norma (infinita) 1/90 tal que f+g tenga (al menos) una raíz en el círculo unitario. Tal g es, por ejemplo . De hecho, (f+g)(1)=0 y 1 está en el círculo unitario, lo que significa que f+g es inestable. ${\displaystyle f(z)=z^{8}-9/10}$ ${\displaystyle g(z)=-1/90\sum _{i=0}^{8}z^{i}}$

Ver también

• polinomio estable
• Modelo maximin de Wald

Referencias

1. Zlobec S. (2009). Optimización no diferenciable: programación paramétrica. Páginas. 2607-2615, en Encyclopedia of Optimization, Floudas CA y Pardalos, editores de PM, Springer.
2. Sniedovich, M. (2010). Una visión panorámica de la teoría de la decisión sobre la brecha de información. Revista de financiación de riesgos, 11(3), 268-283.
3. Wilf, SA (1960). Integración numérica máximamente estable. Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 8(3),537-540.
4. Milne, WE y Reynolds, RR (1962). Métodos de quinto orden para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Revista de la ACM, 9(1), 64-70.
5. Hindrichsen, D. y Pritchard, AJ (1986). Radios de estabilidad de sistemas lineales, Sistemas y Letras de Control, 7, 1-10.
6. Zlobec S. (1988). Caracterización de la optimidad en modelos de programación matemática. Acta Applicandae Mathematicae, 12, 113-180.
7. Paice ADB y Wirth, FR (1998). Análisis de la Robustez Local de la Estabilidad de los Flujos. Matemáticas de Control, Señales y Sistemas , 11, 289-302.