Triángulo rectángulo

Triangle containing a 90-degree angle

Un triángulo rectángulo △ ABC con su ángulo recto en C , hipotenusa c y catetos a y b ,

Un triángulo rectángulo o triángulo rectángulo , a veces llamado triángulo ortogonal o triángulo rectangular , es un triángulo en el que dos lados son perpendiculares , formando un ángulo recto ( 1 ⁄ 4 de vuelta o 90 grados ).

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado en la figura). Los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos (o catetos , singular: cateto ). El lado puede identificarse como el lado adyacente al ángulo y opuesto (u opuesto a ) el ángulo, mientras que el lado es el lado adyacente al ángulo y opuesto al ángulo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Todo triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo dividido por su diagonal . Cuando el rectángulo es un cuadrado , su mitad triangular rectángulo es isósceles , con dos lados congruentes y dos ángulos congruentes. Cuando el rectángulo no es un cuadrado, su mitad triangular rectángulo es escaleno .

Todo triángulo cuya base es el diámetro de un círculo y cuyo vértice se encuentra sobre el círculo es un triángulo rectángulo, teniendo como vértice el ángulo recto y como base la hipotenusa; a la inversa, la circunferencia circunscrita de cualquier triángulo rectángulo tiene como diámetro la hipotenusa. Este es el teorema de Tales .

Los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo satisfacen el teorema de Pitágoras : la suma de las áreas de los cuadrados de dos catetos es el área del cuadrado de la hipotenusa. Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, el triángulo se llama triángulo pitagórico y las longitudes de sus lados se conocen colectivamente como terna pitagórica . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo proporcionan una forma de definir y comprender la trigonometría , el estudio de las relaciones métricas entre longitudes y ángulos.

Propiedades principales

Lados

Diagrama de la prueba de Euclides del teorema de Pitágoras: cada cuadrado más pequeño tiene un área igual al rectángulo del color correspondiente.

Los tres lados de un triángulo rectángulo están relacionados por el teorema de Pitágoras , que en notación algebraica moderna se puede escribir

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

donde es la longitud de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto), y y son las longitudes de los catetos (los dos lados restantes). Las ternas pitagóricas son valores enteros de que satisfacen esta ecuación. Este teorema fue demostrado en la antigüedad y es la proposición I.47 en los Elementos de Euclides : "En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Área

Como en cualquier triángulo, el área es igual a la mitad de la base multiplicada por la altura correspondiente. En un triángulo rectángulo, si se toma un cateto como base, el otro es la altura, por lo que el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los dos catetos. Como fórmula, el área es ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

donde y son los catetos del triangulo. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Si el incírculo es tangente a la hipotenusa en el punto entonces, dejando el semiperímetro en , tenemos y y el área está dada por ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$ ${\displaystyle |PA|=s-a}$ ${\displaystyle |PB|=s-b,}$

${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|=(s-a)(s-b).}$

Esta fórmula sólo se aplica a triángulos rectángulos. ^[1]

Altitudes

Altitud f de un triángulo rectángulo

Si se traza una altura desde el vértice que forma un ángulo recto con la hipotenusa, el triángulo se divide en dos triángulos más pequeños que son similares al original y, por lo tanto, similares entre sí. De esto se desprende:

• La altura de la hipotenusa es la media geométrica ( media proporcional ) de los dos segmentos de la hipotenusa. ^{[2] : 243}
• Cada cateto del triángulo es la media proporcional de la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.

En ecuaciones,

${\displaystyle f^{2}=de,}$(Esto a veces se conoce como el teorema de la altitud del triángulo rectángulo )

${\displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle a^{2}=cd}$

donde son como se muestra en el diagrama. ^[3] Por lo tanto ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

Además, la altura de la hipotenusa está relacionada con los catetos del triángulo rectángulo por ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

Para soluciones de esta ecuación en valores enteros, consulte aquí . ${\displaystyle a,b,c,f,}$

La altura de cada cateto coincide con la del otro cateto. Como estos se cortan en el vértice rectángulo, el ortocentro del triángulo rectángulo (la intersección de sus tres alturas) coincide con el vértice rectángulo.

Inradio y circunradio

El radio del círculo inscrito de un triángulo rectángulo con catetos e hipotenusa es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

El radio del círculo circunscrito es la mitad de la longitud de la hipotenusa,

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

Por lo tanto, la suma del radio circunscrito y del radio interno es la mitad de la suma de los catetos: ^[6]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}$

Uno de los catetos se puede expresar en términos del radio interno y el otro cateto como

${\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

Caracterizaciones

Un triángulo cuyos lados son , semiperímetro , área , altura opuesta al lado más largo , circunradio , inradio , exradios , tangente a , respectivamente, y medianas es un triángulo rectángulo si y solo si cualquiera de las afirmaciones de las siguientes seis categorías es verdadera. Cada una de ellas es, por tanto, también una propiedad de cualquier triángulo rectángulo. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle a\leq b<c}$ ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$

Lados y semiperímetro

• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})}$
• ${\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

Anglos

• ${\displaystyle A}$y son complementarios . ^[9] ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[10]
• ${\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

Área

• ${\displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)}$
• ${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|,}$¿Dónde está el punto de tangencia del círculo inscrito en el lado más largo? ^[11] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle AB.}$

Inradio y exradio

• ${\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}$^[12]

Altitud y medianas

La altura de un triángulo rectángulo desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en que se divide la hipotenusa. Utilizando el teorema de Pitágoras sobre los 3 triángulos de lados ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) y ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^{[6] : Prob. 954, pág. 26}
• La longitud de una mediana es igual al radio circunscrito .
• La altura más corta (la del vértice con el ángulo más grande) es la media geométrica de los segmentos de línea en los que divide al lado opuesto (el más largo). Este es el teorema de la altura del triángulo rectángulo .

Circunferencia y circunferencia inscrita

• El triángulo puede inscribirse en un semicírculo , coincidiendo uno de sus lados con la totalidad del diámetro ( teorema de Tales ).
• El circuncentro es el punto medio del lado más largo.
• El lado más largo es un diámetro del círculo circunscrito. ${\displaystyle (c=2R).}$
• El círculo circunscrito es tangente al círculo de nueve puntos . ^[8]
• El ortocentro se encuentra en el círculo circunscrito. ^[6]
• La distancia entre el incentro y el ortocentro es igual a . ^[6] ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$

Razones trigonométricas

Las funciones trigonométricas para ángulos agudos se pueden definir como razones de los lados de un triángulo rectángulo. Para un ángulo dado, se puede construir un triángulo rectángulo con este ángulo y los lados etiquetados opuesto, adyacente e hipotenusa con referencia a este ángulo de acuerdo con las definiciones anteriores. Estas razones de los lados no dependen del triángulo rectángulo particular elegido, sino solo del ángulo dado, ya que todos los triángulos construidos de esta manera son similares . Si, para un ángulo dado α, el lado opuesto, el lado adyacente y la hipotenusa se etiquetan como y respectivamente, entonces las funciones trigonométricas son ${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle H,}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}$

Para la expresión de funciones hiperbólicas como cociente de los lados de un triángulo rectángulo, véase triángulo hiperbólico de un sector hiperbólico .

Triángulos rectángulos especiales

Los valores de las funciones trigonométricas se pueden evaluar con exactitud para ciertos ángulos utilizando triángulos rectángulos con ángulos especiales. Estos incluyen el triángulo 30-60-90 que se puede utilizar para evaluar las funciones trigonométricas para cualquier múltiplo de y el triángulo rectángulo isósceles o triángulo 45-45-90 que se puede utilizar para evaluar las funciones trigonométricas para cualquier múltiplo de ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Triángulo de Kepler

Sean y la media armónica , la media geométrica y la media aritmética de dos números positivos y con Si un triángulo rectángulo tiene catetos y e hipotenusa entonces ^[13] ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},}$

¿Dónde está la proporción áurea ? Como los lados de este triángulo rectángulo están en progresión geométrica , este es el triángulo de Kepler . ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$

Teorema de Tales

Mediana de un ángulo recto de un triángulo

El teorema de Tales establece que si es el diámetro de un círculo y es cualquier otro punto del círculo, entonces es un triángulo rectángulo con un ángulo recto en El recíproco establece que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro de su circunferencia circunscrita . Como corolario, la circunferencia circunscrita tiene su centro en el punto medio del diámetro, por lo que la mediana que pasa por el vértice rectángulo es un radio, y el radio circunscrito es la mitad de la longitud de la hipotenusa. ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle A.}$

Medianas

Las siguientes fórmulas son válidas para las medianas de un triángulo rectángulo:

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide al triángulo en dos triángulos isósceles, porque la mediana es igual a la mitad de la hipotenusa.

Las medianas y de los catetos satisfacen ^{[6] : p.136, #3110} ${\displaystyle m_{a}}$ ${\displaystyle m_{b}}$

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}$

Línea de Euler

En un triángulo rectángulo, la línea de Euler contiene la mediana de la hipotenusa, es decir, pasa por el vértice rectángulo y por el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Esto se debe a que el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus alturas, cae en el vértice rectángulo, mientras que su circuncentro, la intersección de las mediatrices de sus lados , cae en el punto medio de la hipotenusa.

Desigualdades

En cualquier triángulo rectángulo el diámetro del círculo inscrito es menor que la mitad de la hipotenusa, y más fuertemente es menor o igual a la hipotenusa por ^{[14] : p.281} ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}$

En un triángulo rectángulo con catetos e hipotenusa ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c,}$

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

con igualdad sólo en el caso isósceles. ^{[14] : p.282, p.358}

Si se denota la altura a partir de la hipotenusa entonces ${\displaystyle h_{c},}$

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

con igualdad sólo en el caso isósceles. ^{[14] : p.282}

Otras propiedades

Si los segmentos de longitudes y que emanan del vértice trisecan la hipotenusa en segmentos de longitud entonces ^{[2] : pp. 216–217} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}c,}$

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

El triángulo rectángulo es el único triángulo que tiene dos cuadrados inscritos distintos, en lugar de uno o tres. ^[15]

Dados dos números positivos cualesquiera y con Sea y los lados de los dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa Entonces ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h>k.}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c.}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

Estos lados y el radio del círculo inscrito están relacionados por una fórmula similar: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}$

El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los radios del círculo inscrito y los tres círculos extraídos :

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}$

Véase también

• Triángulos agudos y obtusos (triángulos oblicuos)
• Espiral de Teodoro
• Triángulo esférico trirectangular

Referencias

1. Di Domenico, Angelo S., "Una propiedad de los triángulos que involucra área", Mathematical Gazette 87, julio de 2003, págs. 323–324.
2. Posamentier, Alfred S., y Salkind, Charles T. Problemas desafiantes en geometría , Dover, 1996.
3. Wentworth pág. 156
4. Voles, Roger, "Soluciones enteras de ", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
5. Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.
6. Desigualdades propuestas en " Crux Mathematicorum " , [1].
7. "Triángulo rectángulo si y sólo si s = 2R + r, Arte de resolver problemas, 2011". Archivado desde el original el 28 de abril de 2014. Consultado el 2 de enero de 2012 .
8. Andreescu, Titu y Andrica, Dorian, "Números complejos de la A a la...Z", Birkhäuser, 2006, págs. 109-110.
9. "Propiedades de los triángulos rectángulos". Archivado desde el original el 2011-12-31 . Consultado el 2012-02-15 .
10. CTK Wiki Math, Una variante del teorema de Pitágoras , 2011, [2] Archivado el 5 de agosto de 2013 en Wayback Machine .
11. Darvasi, Gyula (marzo de 2005), "Recíproca de una propiedad de los triángulos rectángulos", The Mathematical Gazette , 89 (514): 72–76, doi : 10.1017/S0025557200176806 , S2CID  125992270.
12. Bell, Amy (2006), "Teorema del triángulo rectángulo de Hansen, su recíproco y una generalización" (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 335–342, archivado (PDF) desde el original el 25 de julio de 2008
13. Di Domenico, A., "La proporción áurea —el triángulo rectángulo— y las medias aritmética, geométrica y armónica", Mathematical Gazette 89, julio de 2005, 261. También Mitchell, Douglas W., "Comentarios sobre 89.41", vol. 90, marzo de 2006, 153-154.
14. Posamentier, Alfred S., y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos . Prometheus Books, 2012.
15. Bailey, Herbert, y DeTemple, Duane, "Cuadrados inscritos en ángulos y triángulos", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.

• Weisstein, Eric W. "Triángulo rectángulo". MathWorld .
• Wentworth, GA (1895). Un libro de texto de geometría. Ginn & Co.

Enlaces externos

• Calculadora para triángulos rectángulos Archivado el 30 de septiembre de 2017 en Wayback Machine.
• Calculadora avanzada de triángulos rectángulos