Triángulo rectángulo

Triángulo que contiene un ángulo de 90 grados.

Un triángulo rectángulo △ ABC con su ángulo recto en C , hipotenusa c y catetos a y b ,

Un triángulo rectángulo o triángulo rectángulo , a veces llamado triángulo ortogonal o triángulo rectangular , es un triángulo en el que dos lados son perpendiculares , formando un ángulo recto ( 1⁄4 de vuelta o 90 grados ).

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado en la figura). Los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos (o catheti , singular: cathetus ). El lado puede identificarse como el lado adyacente al ángulo y el ángulo opuesto (u opuesto ) mientras que el lado es el lado adyacente al ángulo y al ángulo opuesto. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Todo triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo que ha sido dividido por su diagonal . Cuando el rectángulo es un cuadrado , su mitad triangular rectángulo es isósceles , con dos lados congruentes y dos ángulos congruentes. Cuando el rectángulo no es un cuadrado, su mitad triangular rectángulo es escaleno .

Todo triángulo cuya base es el diámetro de un círculo y cuyo vértice se encuentra en el círculo es un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en el vértice y la hipotenusa como base; por el contrario, la circunferencia circunscrita de cualquier triángulo rectángulo tiene como diámetro la hipotenusa. Este es el teorema de Tales .

Los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo satisfacen el teorema de Pitágoras : la suma de las áreas de los cuadrados de dos catetos es el área del cuadrado sobre la hipotenusa. Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, el triángulo Se llama triángulo pitagórico y las longitudes de sus lados se conocen colectivamente como tripleta pitagórica . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo proporcionan una forma de definir y comprender la trigonometría , el estudio de las relaciones métricas entre longitudes y ángulos.

Propiedades principales

Lados

El diagrama para la prueba del teorema de Pitágoras de Euclides: cada cuadrado más pequeño tiene un área igual al rectángulo del color correspondiente.

Los tres lados de un triángulo rectángulo están relacionados por el teorema de Pitágoras , que en notación algebraica moderna se puede escribir

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

donde es la longitud de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y y son las longitudes de los catetos (los dos lados restantes). Las ternas pitagóricas son valores enteros que satisfacen esta ecuación. Este teorema fue demostrado en la antigüedad y es la proposición I.47 de los Elementos de Euclides : "En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Área

Como ocurre con cualquier triángulo, el área es igual a la mitad de la base multiplicada por la altura correspondiente. En un triángulo rectángulo, si un cateto se toma como base, el otro es la altura, por lo que el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los dos catetos. Como fórmula el área es ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

donde y son los catetos del triángulo. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Si la circunferencia es tangente a la hipotenusa en el punto , entonces dejando que el semiperímetro sea tenemos y y el área está dada por ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$ ${\displaystyle |PA|=s-a}$ ${\displaystyle |PB|=s-b,}$

${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|=(s-a)(s-b).}$

Esta fórmula sólo se aplica a triángulos rectángulos. ^[1]

Altitud

Altitud f de un triángulo rectángulo

Si se traza una altitud desde el vértice que forma el ángulo recto con la hipotenusa, entonces el triángulo se divide en dos triángulos más pequeños que son similares al original y, por lo tanto, similares entre sí. De esto:

• La altura a la hipotenusa es la media geométrica ( media proporcional ) de los dos segmentos de la hipotenusa. ^{[2] : 243}
• Cada cateto del triángulo es la media proporcional de la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.

En ecuaciones,

${\displaystyle f^{2}=de,}$(Esto a veces se conoce como teorema de altitud del triángulo rectángulo )

${\displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle a^{2}=cd}$

donde son como se muestra en el diagrama. ^[3] Así ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

Además, la altura a la hipotenusa está relacionada con los catetos del triángulo rectángulo mediante ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

Para soluciones de esta ecuación en valores enteros de consulte aquí . ${\displaystyle a,b,c,f,}$

La altitud de cada tramo coincide con la del otro tramo. Dado que estos se cruzan en el vértice rectángulo, el ortocentro del triángulo rectángulo (la intersección de sus tres altitudes) coincide con el vértice rectángulo.

Inradio y circunradio

El radio de la circunferencia de un triángulo rectángulo con catetos y hipotenusa es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

El radio de la circunferencia circunscrita es la mitad de la longitud de la hipotenusa,

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

Así, la suma del circunradio y el inradio es la mitad de la suma de los catetos: ^[6]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}$

Uno de los catetos se puede expresar en términos del inradio y el otro cateto como

${\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

Caracterizaciones

Un triángulo con lados , semiperímetro , área de altitud opuesta al lado más largo, circunradio inradius exradii tangente a respectivamente y medianas es un triángulo rectángulo si y solo si cualquiera de las afirmaciones de las siguientes seis categorías es verdadera. Por tanto, cada uno de ellos es también una propiedad de cualquier triángulo rectángulo. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle a\leq b<c}$ ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$

Lados y semiperímetro

• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})}$
• ${\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

Anglos

• ${\displaystyle A}$y son complementarios . ^[9] ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[10]
• ${\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

Área

• ${\displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)}$
• ${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|,}$¿Dónde está el punto de tangencia de la circunferencia en el lado más largo ^[11] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle AB.}$

Inradio y exradio

• ${\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}$^[12]

Altitud y medianas

La altura de un triángulo rectángulo desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en los que se divide la hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras sobre los 3 triángulos de lados ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) y ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^{[6] : Prob. 954, pág. 26}
• La longitud de una mediana es igual al circunradio .
• La altitud más corta (la del vértice con el ángulo más grande) es la media geométrica de los segmentos de línea en los que divide el lado opuesto (el más largo). Este es el teorema de altitud del triángulo rectángulo .

Circunferencia y circunferencia

• El triángulo puede estar inscrito en un semicírculo , coincidiendo un lado con la totalidad del diámetro ( teorema de Tales ).
• El circuncentro es el punto medio del lado más largo.
• El lado más largo es un diámetro de la circunferencia circunstante. ${\displaystyle (c=2R).}$
• La circunferencia circunstante es tangente a la circunferencia de nueve puntos . ^[8]
• El ortocentro se encuentra en el círculo circunstante. ^[6]
• La distancia entre el incentro y el ortocentro es igual a . ^[6] ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$

Razones trigonométricas

Las funciones trigonométricas para ángulos agudos se pueden definir como razones de los lados de un triángulo rectángulo. Para un ángulo dado, se puede construir un triángulo rectángulo con este ángulo y los lados etiquetados como opuesto, adyacente e hipotenusa con referencia a este ángulo de acuerdo con las definiciones anteriores. Estas proporciones de los lados no dependen del triángulo rectángulo particular elegido, sino sólo del ángulo dado, ya que todos los triángulos construidos de esta manera son similares . Si, para un ángulo dado α, el lado opuesto, el lado adyacente y la hipotenusa están etiquetados y respectivamente, entonces las funciones trigonométricas son ${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle H,}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}$

Para la expresión de funciones hiperbólicas como razón de los lados de un triángulo rectángulo, véase el triángulo hiperbólico de un sector hiperbólico .

Triángulos rectángulos especiales

Los valores de las funciones trigonométricas se pueden evaluar exactamente para determinados ángulos utilizando triángulos rectángulos con ángulos especiales. Estos incluyen el triángulo 30-60-90 que se puede usar para evaluar las funciones trigonométricas para cualquier múltiplo de y el triángulo rectángulo isósceles o el triángulo 45-45-90 que se puede usar para evaluar las funciones trigonométricas para cualquier múltiplo de ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

triángulo de kepler

Sea y la media armónica , la media geométrica y la media aritmética de dos números positivos y con Si un triángulo rectángulo tiene catetos y hipotenusa entonces ^[13] ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},}$

¿ Dónde está la proporción áurea ? Dado que los lados de este triángulo rectángulo están en progresión geométrica , este es el triángulo de Kepler . ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$

teorema de tales

Mediana de un ángulo recto de un triángulo

El teorema de Tales establece que si es el diámetro de un círculo y es cualquier otro punto del círculo, entonces es un triángulo rectángulo con un ángulo recto en El recíproco establece que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro de su círculo circunstante . Como corolario, la circunferencia circunscrita tiene su centro en el punto medio del diámetro, por lo que la mediana que pasa por el vértice rectángulo es un radio y el circunradio es la mitad de la longitud de la hipotenusa. ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle A.}$

Medianas

Las siguientes fórmulas son válidas para las medianas de un triángulo rectángulo:

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

La mediana de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide el triángulo en dos triángulos isósceles, porque la mediana es igual a la mitad de la hipotenusa.

Las medianas y de los catetos satisfacen ^{[6] : p.136, #3110} ${\displaystyle m_{a}}$ ${\displaystyle m_{b}}$

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}$

línea de euler

En un triángulo rectángulo, la recta de Euler contiene la mediana de la hipotenusa, es decir, pasa por el vértice rectángulo y el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Esto se debe a que el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus altitudes, cae en el vértice rectángulo mientras que su circuncentro, la intersección de sus bisectrices perpendiculares de los lados , cae en el punto medio de la hipotenusa.

Desigualdades

En cualquier triángulo rectángulo el diámetro del círculo es menor que la mitad de la hipotenusa, y más fuertemente es menor o igual a la hipotenusa multiplicada ^{[14] : p.281} ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}$

En un triángulo rectángulo con catetos e hipotenusa. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c,}$

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

con igualdad sólo en el caso isósceles. ^{[14] : p.282, p.358}

Si se denota la altura desde la hipotenusa, entonces ${\displaystyle h_{c},}$

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

con igualdad sólo en el caso isósceles. ^{[14] : p.282}

Otras propiedades

Si los segmentos de longitud y que parten del vértice trisecan la hipotenusa en segmentos de longitud, entonces ^{[2] : págs. 216-217} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}c,}$

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

El triángulo rectángulo es el único triángulo que tiene dos cuadrados inscritos distintos, en lugar de uno o tres. ^[15]

Dados dos números positivos cualesquiera y con Sean y los lados de los dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa Entonces ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h>k.}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c.}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

Estos lados y el radio del círculo están relacionados por una fórmula similar: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}$

El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los radios de la circunferencia circundante y de las tres circunferencias excéntricas :

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}$

Ver también

• Triángulos agudos y obtusos (triángulos oblicuos)
• Espiral de Teodoro

Referencias

1. Di Domenico, Angelo S., "Una propiedad de los triángulos que involucran área", Mathematical Gazette 87, julio de 2003, págs.
2. Posamentier, Alfred S. y Salkind, Charles T. Problemas desafiantes en geometría , Dover, 1996.
3. Wentworth pag. 156
4. Voles, Roger, "Soluciones enteras de ", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
5. Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.
6. Desigualdades propuestas en " Crux Mathematicorum " , [1].
7. "Triángulo derecho si s = 2R + r, arte de resolver problemas, 2011". Archivado desde el original el 28 de abril de 2014 . Consultado el 2 de enero de 2012 .
8. Andreescu, Titu y Andrica, Dorian, "Números complejos de la A a la Z", Birkhäuser, 2006, págs.
9. "Propiedades de los triángulos rectángulos". Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2011 . Consultado el 15 de febrero de 2012 .
10. CTK Wiki Math, una variante del teorema de Pitágoras , 2011, [2] Archivado el 5 de agosto de 2013 en Wayback Machine .
11. Darvasi, Gyula (marzo de 2005), "Conversación de una propiedad de triángulos rectángulos", The Mathematical Gazette , 89 (514): 72–76, doi : 10.1017/S0025557200176806 , S2CID  125992270.
12. Bell, Amy (2006), "Teorema del triángulo rectángulo de Hansen, su recíproco y una generalización" (PDF) , Forum Geometriorum , 6 : 335–342, archivado (PDF) desde el original el 25 de julio de 2008
13. Di Domenico, A., "La proporción áurea (el triángulo rectángulo) y las medias aritméticas, geométricas y armónicas", Mathematical Gazette 89, julio de 2005, 261. También Mitchell, Douglas W., "Comentarios sobre 89.41", vol. 90, marzo de 2006, 153-154.
14. Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos . Libros de Prometeo, 2012.
15. Bailey, Herbert y DeTemple, Duane, "Cuadrados inscritos en ángulos y triángulos", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.

• Weisstein, Eric W. "Triángulo rectángulo". MundoMatemático .
• Wentworth, Georgia (1895). Un libro de texto de geometría. Ginn & Co.

enlaces externos

• Calculadora para triángulos rectángulos Archivado el 30 de septiembre de 2017 en Wayback Machine.
• Calculadora avanzada de triángulo rectángulo