Teorema de la media geométrica

Teorema sobre triángulos rectángulos

área del cuadrado gris = área del rectángulo gris: ${\displaystyle h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}}$

En geometría euclidiana , el teorema de altitud del triángulo rectángulo o teorema de la media geométrica es una relación entre la altitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo y los dos segmentos de recta que crea en la hipotenusa. Afirma que la media geométrica de los dos segmentos es igual a la altitud.

Teorema y aplicaciones

Construcción de estableciendo q en 1 ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$

Si h denota la altitud en un triángulo rectángulo y p y q los segmentos de la hipotenusa, entonces el teorema se puede expresar como: ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$

o en términos de áreas:

${\displaystyle h^{2}=pq.}$

Desigualdad AM-GM

La última versión proporciona un método para cuadrar un rectángulo con regla y compás , es decir, construir un cuadrado de igual área que un rectángulo dado. Para tal rectángulo con lados p y q denotamos su vértice superior izquierdo con D. Ahora extendemos el segmento q hacia su izquierda por p (usando el arco AE centrado en D ) y dibujamos un semicírculo con puntos finales A y B con el nuevo segmento p + q como diámetro. Luego erigimos una línea perpendicular al diámetro en D que corta el semicírculo en C. Debido al teorema C de Tales y el diámetro forman un triángulo rectángulo con el segmento de línea DC como altura, por lo tanto DC es el lado de un cuadrado con el área del rectángulo. El método también permite la construcción de raíces cuadradas (ver número construible ), ya que comenzando con un rectángulo que tiene un ancho de 1, el cuadrado construido tendrá una longitud de lado que es igual a la raíz cuadrada de la longitud del rectángulo. ^[1]

Otra aplicación de proporciona una prueba geométrica de la desigualdad AM-GM en el caso de dos números. Para los números p y q se construye un semicírculo con diámetro p + q . Ahora la altitud representa la media geométrica y el radio la media aritmética de los dos números. Como la altitud siempre es menor o igual que el radio, esto produce la desigualdad. ^[2]

Teorema de la media geométrica como un caso especial del teorema de la cuerda :
${\displaystyle |CD||DE|=|AD||DB|\Leftrightarrow h^{2}=pq}$

El teorema también puede considerarse como un caso especial del teorema de cuerdas que se cruzan para un círculo, ya que lo contrario del teorema de Tales asegura que la hipotenusa del triángulo rectángulo es el diámetro de su círculo circunstante . ^[1]

La afirmación inversa también es cierta. Cualquier triángulo en el que la altura sea igual a la media geométrica de los dos segmentos lineales creados por ella es un triángulo rectángulo.

Historia

El teorema suele atribuirse a Euclides (ca. 360-280 a. C.), quien lo expresó como corolario de la proposición 8 en el libro VI de sus Elementos . En la proposición 14 del libro II, Euclides da un método para elevar al cuadrado un rectángulo, que esencialmente coincide con el método dado aquí. Sin embargo, Euclides proporciona una prueba diferente, un poco más complicada, de la corrección de la construcción en lugar de basarse en el teorema de la media geométrica. ^{[1] [3]}

Prueba

Basado en similitud

${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ADC\sim \triangle DBC}$

Prueba del teorema :

Los triángulos △ ADC , △ BCD son semejantes , ya que:

• considere triángulos △ ABC , △ ACD ; Aquí tenemos
  $${\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;}$$
  por lo tanto por el postulado de AA
  $${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD.}$$
• además, considere los triángulos △ ABC , △ BCD ; Aquí tenemos
  $${\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;}$$
  por lo tanto por el postulado de AA
  $${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle BCD.}$$

Por lo tanto, ambos triángulos △ ACD , △ BCD son similares a △ ABC y a ellos mismos, es decir

$${\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD.}$$

Debido a la similitud obtenemos la siguiente igualdad de razones y su reordenamiento algebraico produce el teorema: ^[1]

${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}$

Prueba de lo contrario:

Por el contrario, tenemos un triángulo △ ABC en el que se cumple y necesitamos demostrar que el ángulo en C es un ángulo recto. Ahora bien, debido a que también tenemos junto con los triángulos △ ADC , △ BDC tienen un ángulo de igual tamaño y tienen pares de catetos correspondientes con la misma proporción. Esto significa que los triángulos son semejantes, lo que produce: ${\displaystyle h^{2}=pq}$ ${\displaystyle h^{2}=pq}$ ${\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}.}$ ${\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ACB&=\angle ACD+\angle DCB\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)\\&=90^{\circ }\end{aligned}}}$

Basado en el teorema de Pitágoras

Demostración con el teorema de Pitágoras

En el marco del teorema de la media geométrica hay tres triángulos rectángulos △ ABC , △ ADC y △ DBC en los que el teorema de Pitágoras produce:

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-q^{2}\\h^{2}&=b^{2}-p^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}}$

Sumar las dos primeras ecuaciones y luego usar la tercera conduce a:

${\displaystyle {\begin{aligned}2h^{2}&=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=c^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=2pq\\\therefore \ h^{2}&=pq.\end{aligned}}}$

lo que finalmente produce la fórmula del teorema de la media geométrica. ^[4]

Basado en disección y reordenamiento.

La disección del triángulo rectángulo a lo largo de su altitud h produce dos triángulos similares, que se pueden aumentar y organizar de dos maneras alternativas en un triángulo rectángulo más grande con lados perpendiculares de longitudes p + h y q + h . Uno de esos arreglos requiere un cuadrado de área h ² para completarse, el otro, un rectángulo de área pq . Dado que ambas disposiciones dan como resultado el mismo triángulo, las áreas del cuadrado y del rectángulo deben ser idénticas.

Basado en mapeos de corte

El cuadrado de la altitud se puede transformar en un rectángulo de igual área con lados p y q con la ayuda de tres mapeos de corte (los mapeos de corte preservan el área):

Mapeos de corte con sus líneas fijas asociadas (punteadas), comenzando con el cuadrado original como preimagen, cada paralelogramo muestra la imagen de un mapeo de corte de la figura a su izquierda.

Referencias

1. *Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie . Springer, 2009, ISBN  9783834808561 , págs. 76-77 (alemán, copia en línea , pág. 76, en Google Books )
2. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Iconos de las matemáticas: una exploración de veinte imágenes clave . MAA 2011, ISBN 9780883853528 , págs. 31–32 ( copia en línea , p. 31, en Google Books ) 
3. Euclides : Elementos , libro II - prop. 14, libro VI – pro6767800hshockedmake, me uoppppp. 8, (copia en línea)
4. Ilka Agricola , Thomas Friedrich: Geometría elemental . AMS 2008, ISBN 9780821843475 , pág. 25 ( copia en línea , p. 25, en Google Books ) 

enlaces externos

• Media geométrica en Cut-the-Knot