En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría combinatoria de grupos , las transformaciones de Nielsen , que llevan el nombre de Jakob Nielsen , son ciertos automorfismos de un grupo libre que son un análogo no conmutativo de la reducción de filas y una de las principales herramientas utilizadas en el estudio. grupos libres (Fine, Rosenberger y Stille 1995). Fueron introducidos en (Nielsen 1921) para demostrar que cada subgrupo de un grupo libre es libre (el teorema de Nielsen-Schreier ), pero ahora se utilizan en una variedad de matemáticas, incluida la teoría computacional de grupos , la teoría k y la teoría de nudos . El libro de texto (Magnus, Karrass y Solitar 2004) dedica todo el capítulo 3 a las transformaciones de Nielsen.
Una de las definiciones más simples de una transformación de Nielsen es un automorfismo de un grupo libre, pero esta no era su definición original. A continuación se ofrece una definición más constructiva.
Una transformación de Nielsen en un grupo libre generado finitamente con base ordenada [ x 1 , ..., x n ] se puede factorizar en transformaciones de Nielsen elementales de los siguientes tipos:
Estas transformaciones son análogas a las operaciones elementales con renglones . Las transformaciones de los dos primeros tipos son análogas a los intercambios de filas y a las permutaciones cíclicas de filas. Las transformaciones del tercer tipo corresponden a escalar una fila mediante un escalar invertible. Las transformaciones del cuarto tipo corresponden a adiciones de filas.
Las transformaciones de los dos primeros tipos son suficientes para permutar los generadores en cualquier orden, por lo que el tercer tipo puede aplicarse a cualquiera de los generadores y el cuarto tipo a cualquier par de generadores.
Cuando se trata de grupos que no son libres, se aplican estas transformaciones a subconjuntos ordenados finitos de un grupo. En esta situación, las composiciones de las transformaciones elementales se denominan regulares . Si se permite eliminar elementos del subconjunto que son el elemento identidad, entonces la transformación se llama singular .
La imagen bajo una transformación de Nielsen (elemental o no, regular o no) de un conjunto generador de un grupo G es también un conjunto generador de G. Dos grupos electrógenos se denominan equivalentes de Nielsen si existe una transformación de Nielsen que lleva uno al otro. Si los grupos electrógenos tienen el mismo tamaño, entonces basta con considerar composiciones de transformaciones regulares de Nielsen.
El grupo diédrico de orden 10 tiene dos clases de equivalencia de Nielsen de conjuntos generadores de tamaño 2. Si x es un elemento de orden 2 y y es un elemento de orden 5, las dos clases de conjuntos generadores están representadas por [ x , y ] y [ x , yy ], y cada clase tiene 15 elementos distintos. Un grupo electrógeno muy importante de un grupo diédrico es el grupo electrógeno desde su presentación como grupo Coxeter . Tal conjunto generador para un grupo diédrico de orden 10 consta de cualquier par de elementos de orden 2, como [ x , xy ]. Este grupo electrógeno es equivalente a [ x , y ] mediante:
A diferencia de [ x , y ] y [ x , yy ], los conjuntos generadores [ x , y , 1 ] y [ x , yy , 1 ] son equivalentes. [1] Una secuencia transformadora que utiliza transformaciones elementales más convenientes (todos los intercambios, todos los inversos, todos los productos) es:
En (Nielsen 1921), se ofrece una prueba combinatoria sencilla de que los subgrupos de grupos libres generados finitamente son libres. Un grupo electrógeno se denomina Nielsen reducido si no hay demasiada cancelación en los productos. El artículo muestra que cada conjunto generador finito de un subgrupo de un grupo libre es (singularmente) equivalente Nielsen a un conjunto generador reducido de Nielsen, y que un conjunto generador reducido de Nielsen es una base libre para el subgrupo, por lo que el subgrupo es libre. Esta prueba se proporciona con cierto detalle en (Magnus, Karrass y Solitar 2004, capítulo 3.2).
En (Nielsen 1924), se muestra que el automorfismo definido por las transformaciones elementales de Nielsen genera el grupo de automorfismo completo de un grupo libre finitamente generado . Nielsen y más tarde Bernhard Neumann utilizaron estas ideas para dar presentaciones finitas de los grupos de automorfismos de grupos libres. Esto también se describe en el libro de texto (Magnus, Karrass & Solitar 2004, p. 131, Th 3.2).
Para un conjunto generador dado de un grupo finitamente generado, no es necesariamente cierto que cada automorfismo esté dado por una transformación de Nielsen, pero para cada automorfismo, hay un conjunto generador donde el automorfismo está dado por una transformación de Nielsen (Rapaport 1959 ).
Un caso particularmente simple del problema verbal para grupos y el problema de isomorfismo para grupos pregunta si un grupo presentado finitamente es el grupo trivial . Se sabe que esto es intratable en general, a pesar de que existe una secuencia finita de transformaciones elementales de Tietze que llevan la presentación a la presentación trivial si y sólo si el grupo es trivial. Un caso especial es el de las "presentaciones equilibradas", aquellas presentaciones finitas con igual número de generadores y reladores. Para estos grupos, existe la conjetura de que las transformaciones requeridas son bastante más simples (en particular, no implican agregar ni eliminar reladores). Si se permite llevar el conjunto de reladores a cualquier conjunto equivalente de Nielsen, y se permite conjugar los reladores, entonces se obtiene una relación de equivalencia en subconjuntos ordenados de reladores de un grupo presentado finitamente. La conjetura de Andrews-Curtis es que los reladores de cualquier presentación equilibrada del grupo trivial son equivalentes a un conjunto de reladores triviales, afirmando que cada generador es el elemento identidad.
En el libro de texto (Magnus, Karrass y Solitar 2004, págs. 131-132), se ofrece una aplicación de las transformaciones de Nielsen para resolver el problema verbal generalizado para grupos libres, también conocido como problema de membresía para subgrupos dados por conjuntos generadores finitos en tiempo libre. grupos.
Un caso especial particularmente importante del problema de isomorfismo para grupos se refiere a los grupos fundamentales de nudos tridimensionales , que pueden resolverse utilizando transformaciones de Nielsen y un método de JW Alexander (Magnus, Karrass y Solitar 2004, capítulo 3.4).
En teoría de grupos computacional , es importante generar elementos aleatorios de un grupo finito . Los métodos populares para hacer esto aplican métodos de cadena de Markov para generar conjuntos generadores aleatorios del grupo. El "algoritmo de sustitución de productos" simplemente utiliza transformaciones de Nielsen elegidas al azar para realizar un recorrido aleatorio por la gráfica de los conjuntos generadores del grupo. El algoritmo está bien estudiado y se proporciona una encuesta en (Pak 2001). Una versión del algoritmo, llamada "sacudir", es:
Se puede demostrar que el grupo electrógeno utilizado durante el curso de este algoritmo varía uniformemente en todos los grupos electrógenos equivalentes de Nielsen. Sin embargo, este algoritmo tiene una serie de problemas estadísticos y teóricos. Por ejemplo, puede haber más de una clase de generadores de equivalencia Nielsen. Además, los elementos de los grupos electrógenos deben distribuirse uniformemente (por ejemplo, los elementos del subgrupo Frattini nunca pueden aparecer en un grupo electrógeno de tamaño mínimo, pero también ocurren problemas más sutiles).
La mayoría de estos problemas se solucionan rápidamente con la siguiente modificación llamada "traqueteo" (Leedham-Green & Murray 2002):
Para comprender la equivalencia de Nielsen de grupos electrógenos no mínimos, las investigaciones teóricas de módulos han sido útiles, como en (Evans 1989). Siguiendo en estas líneas, una formulación teórica K de la obstrucción a la equivalencia de Nielsen fue descrita en (Lustig 1991) y (Lustig & Moriah 1993). Estos muestran una conexión importante entre el grupo Whitehead del anillo de grupo y las clases de generadores de equivalencia de Nielsen.