Torsión de Whitehead

En topología geométrica , un campo dentro de las matemáticas, el obstáculo para que una equivalencia homotópica de complejos CW finitos sea una equivalencia homotópica simple es su torsión de Whitehead , que es un elemento del grupo de Whitehead . Estos conceptos reciben su nombre del matemático JHC Whitehead . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \tau (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {Wh} (\pi _{1}(Y))}$

La torsión de Whitehead es importante para aplicar la teoría de la cirugía a variedades no simplemente conexas de dimensión > 4: para variedades simplemente conexas, el grupo de Whitehead se desvanece y, por lo tanto, las equivalencias de homotopía y las equivalencias de homotopía simple son las mismas. Las aplicaciones son para variedades diferenciables, variedades PL y variedades topológicas. Las pruebas fueron obtenidas por primera vez a principios de la década de 1960 por Stephen Smale , para variedades diferenciables. El desarrollo de la teoría de cuerpos de manija permitió pruebas muy similares en las categorías diferenciables y PL. Las pruebas son mucho más difíciles en la categoría topológica, requiriendo la teoría de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann . La restricción a variedades de dimensión mayor que cuatro se debe a la aplicación del truco de Whitney para eliminar puntos dobles.

Al generalizar el teorema del h -cobordismo , que es un enunciado sobre variedades simplemente conexas, a variedades no simplemente conexas, se deben distinguir las equivalencias de homotopía simples y las equivalencias de homotopía no simples. Mientras que un h -cobordismo W entre variedades conexas cerradas simplemente conexas M y N de dimensión n  > 4 es isomorfo a un cilindro (la equivalencia de homotopía correspondiente puede tomarse como un difeomorfismo, un isomorfismo PL o un homeomorfismo, respectivamente), el teorema del s -cobordismo establece que si las variedades no son simplemente conexas, un h -cobordismo es un cilindro si y solo si la torsión de Whitehead de la inclusión se desvanece. ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Grupo Whitehead

El grupo de Whitehead de un complejo CW conexo o una variedad M es igual al grupo de Whitehead del grupo fundamental de M. ${\displaystyle \operatorname {Wh} (\pi _{1}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$

Si G es un grupo, el grupo de Whitehead se define como el cokernel de la función que envía ( g , ±1) a la matriz invertible (1,1) (± g ). Aquí está el anillo de grupo de G . Recordemos que el K-grupo K ₁ ( A ) de un anillo A se define como el cociente de GL(A) por el subgrupo generado por matrices elementales . El grupo GL( A ) es el límite directo de los grupos de dimensión finita GL( n , A ) → GL( n +1, A ); concretamente, el grupo de matrices infinitas invertibles que difieren de la matriz identidad solo en un número finito de coeficientes. Una matriz elemental aquí es una transvección : una tal que todos los elementos de la diagonal principal son 1 y hay como máximo un elemento distinto de cero que no está en la diagonal. El subgrupo generado por matrices elementales es exactamente el subgrupo derivado , es decir el subgrupo normal más pequeño tal que el cociente por él es abeliano. ${\displaystyle \operatorname {Wh} (G)}$ ${\displaystyle G\times \{\pm 1\}\to K_{1}(\mathbb {Z} [G])}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

En otras palabras, el grupo de Whitehead de un grupo G es el cociente de por el subgrupo generado por matrices elementales, elementos de G y . Nótese que esto es lo mismo que el cociente del grupo K reducido por G . ${\displaystyle \operatorname {Wh} (G)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (\mathbb {Z} [G])}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{1}(\mathbb {Z} [G])}$

Ejemplos

• El grupo de Whitehead del grupo trivial es trivial. Puesto que el anillo de grupo del grupo trivial es , tenemos que demostrar que cualquier matriz puede escribirse como un producto de matrices elementales por una matriz diagonal; esto se deduce fácilmente del hecho de que es un dominio euclidiano . ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• El grupo de Whitehead de un grupo abeliano libre es trivial, un resultado de 1964 de Hyman Bass , Alex Heller y Richard Swan . Esto es bastante difícil de probar, pero es importante ya que se utiliza en la prueba de que un s -cobordismo de dimensión al menos 6 cuyos extremos son toros es un producto. También es el resultado algebraico clave utilizado en la clasificación de la teoría quirúrgica de variedades lineales por partes de dimensión al menos 5 que son homotópicamente equivalentes a un toro ; este es el ingrediente esencial de la teoría de la estructura de Kirby-Siebenmann de 1969 de variedades topológicas de dimensión al menos 5.

• El grupo Whitehead de un grupo trenzado (o cualquier subgrupo de un grupo trenzado) es trivial. Esto fue demostrado por F. Thomas Farrell y Sayed K. Roushon.

• El grupo de Whitehead es un grupo cíclico que es trivial si y sólo si es de orden 2, 3, 4 o 6.

• El grupo de Whitehead del grupo cíclico de orden 5 es . Esto fue demostrado en 1940 por Graham Higman . Un ejemplo de una unidad no trivial en el anillo de grupo surge de la identidad donde t es un generador del grupo cíclico de orden 5. Este ejemplo está estrechamente relacionado con la existencia de unidades de orden infinito (en particular, la proporción áurea ) en el anillo de números enteros del campo ciclotómico generado por raíces quintas de la unidad. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (1-t-t^{4})(1-t^{2}-t^{3})=1,}$

• El grupo de Whitehead de cualquier grupo finito G es finitamente generado, de rango igual al número de representaciones reales irreducibles de G menos el número de representaciones racionales irreducibles . Esto fue demostrado en 1965 por Bass.

• Si G es un grupo cíclico finito, entonces es isomorfo a las unidades del anillo del grupo bajo el mapa determinante, por lo que Wh( G ) es simplemente el grupo de unidades de módulo el grupo de "unidades triviales" generadas por elementos de G y −1. ${\displaystyle K_{1}(\mathbb {Z} [G])}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

• Es una conjetura bien conocida que el grupo de Whitehead de cualquier grupo libre de torsión debería desaparecer.

La torsión de Whitehead

En primer lugar, definimos la torsión de Whitehead para una equivalencia de homotopía de cadena de complejos de cadena R libres de base finita . Podemos asignar a la equivalencia de homotopía su cono de aplicación C _*  := cono _* (h _{* ) que es un complejo de cadena} R libre de base finita contráctil . Sea cualquier contracción de cadena del cono de aplicación, es decir, para todo n . Obtenemos un isomorfismo con ${\displaystyle \tau (h_{*})\in {\tilde {K}}_{1}(R)}$ ${\displaystyle h_{*}:D_{*}\to E_{*}}$ ${\displaystyle \gamma _{*}:C_{*}\to C_{*+1}}$ ${\displaystyle c_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ c_{n}=\operatorname {id} _{C_{n}}}$ ${\displaystyle (c_{*}+\gamma _{*})_{\mathrm {odd} }:C_{\mathrm {odd} }\to C_{\mathrm {even} }}$

${\displaystyle C_{\mathrm {odd} }:=\bigoplus _{n{\text{ odd}}}C_{n},\qquad C_{\mathrm {even} }:=\bigoplus _{n{\text{ even}}}C_{n}.}$

Definimos , donde A es la matriz de con respecto a las bases dadas. ${\displaystyle \tau (h_{*}):=[A]\in {\tilde {K}}_{1}(R)}$ ${\displaystyle (c_{*}+\gamma _{*})_{\rm {odd}}}$

Para una equivalencia de homotopía de complejos CW finitos conexos definimos la torsión de Whitehead de la siguiente manera. Sea la elevación de al recubrimiento universal. Induce equivalencias de homotopía de cadena . Ahora podemos aplicar la definición de la torsión de Whitehead para una equivalencia de homotopía de cadena y obtener un elemento en el que mapeamos a Wh(π ₁ ( Y )). Esta es la torsión de Whitehead τ(ƒ) ∈ Wh(π ₁ ( Y )). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \tau (f)\in \operatorname {Wh} (\pi _{1}(Y))}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:{\tilde {X}}\to {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(Y)]}$ ${\displaystyle C_{*}({\tilde {f}}):C_{*}({\tilde {X}})\to C_{*}({\tilde {Y}})}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{1}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(Y)])}$

Propiedades

Invariancia de homotopía: Sean equivalencias de homotopía de complejos CW finitos conexos. Si f y g son homotópicos, entonces . ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \tau (f)=\tau (g)}$

Invariancia topológica: Si es un homeomorfismo de complejos CW conexos finitos, entonces . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \tau (f)=0}$

Fórmula de composición: Sean , equivalencias de homotopía de complejos CW finitos conexos. Entonces . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ ${\displaystyle \tau (g\circ f)=g_{*}\tau (f)+\tau (g)}$

Interpretación geométrica

El teorema del s-cobordismo establece que, para una variedad orientada, conexa y cerrada M de dimensión n  > 4, un h-cobordismo W entre M y otra variedad N es trivial sobre M si y solo si la torsión de Whitehead de la inclusión se anula. Además, para cualquier elemento del grupo de Whitehead existe un h-cobordismo W sobre M cuya torsión de Whitehead es el elemento considerado. Las demostraciones utilizan descomposiciones de manejadores . ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Existe un análogo teórico de homotopía del teorema de s-cobordismo. Dado un complejo CW A , considérese el conjunto de todos los pares de complejos CW ( X , A ) tales que la inclusión de A en X es una equivalencia de homotopía. Se dice que dos pares ( X ₁ , A ) y ( X ₂ , A ) son equivalentes, si hay una equivalencia de homotopía simple entre X ₁ y X ₂ relativa a A . El conjunto de tales clases de equivalencia forma un grupo donde la adición se da tomando la unión de X ₁ y X ₂ con el subespacio común A . Este grupo es isomorfo natural al grupo de Whitehead Wh( A ) del complejo CW A . La prueba de este hecho es similar a la prueba del teorema de s-cobordismo .

Véase también

• Teoría K algebraica
• Torsión de Reidemeister
• Teorema del s-cobordismo
• Obstáculo de finitud de Wall

Referencias

• Bass, Hyman ; Heller, Alex; Swan, Richard (1964), "El grupo Whitehead de una extensión polinómica", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 22 : 61–79, doi :10.1007/BF02684690, MR  0174605, S2CID  4649786
• Cohen, M. Un curso sobre teoría de homotopía simple Texto de posgrado en matemáticas 10, Springer, 1973
• Higman, Graham (1940), "Las unidades de los anillos de grupo", Actas de la London Mathematical Society , 2, 46 : 231–248, doi :10.1112/plms/s2-46.1.231, MR  0002137
• Kirby, Robion ; Siebenmann, Laurent (1977), Ensayos fundamentales sobre variedades topológicas, suavizados y triangulaciones , Annals of Mathematics Studies, vol. 88, Princeton University Press Princeton, NJ; University of Tokyo Press , Tokio
• Milnor, John (1966), "Torsión de Whitehead", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 72 (3): 358–426, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11484-2 , MR  0196736
• Smale, Stephen (1962), "Sobre la estructura de las variedades", American Journal of Mathematics , 84 (3): 387–399, doi :10.2307/2372978, JSTOR  2372978, MR  0153022
• Whitehead, JHC (1950), "Tipos de homotopía simples", American Journal of Mathematics , 72 (1): 1–57, doi :10.2307/2372133, JSTOR  2372133, MR  0035437

Enlaces externos

• En la sección dos se encuentra una descripción de la torsión de Whitehead.